Question

直线 $12x + 5y = 60$ 与坐标轴围成一个三角形。这个三角形三条高的长度之和是多少？

The line $12x + 5y = 60$ forms a triangle with the coordinate axes. What is the sum of the lengths of the altitudes of this triangle?

$20$

$\dfrac{360}{17}$

$\dfrac{107}{5}$

$\dfrac{43}{2}$

$\dfrac{281}{13}$

答案：E

知识点：坐标几何直角三角形高线

难度评级：1510

小提示：

截距为 $(5, 0)$ 和 $(0, 12)$ ，所以两条直角边长为 $5$ 和 $12$ 。

The intercepts are $(5, 0)$ and $(0, 12),$ so the legs are $5$ and $12$

大提示：

两条高就是两条直角边；第三条高为 $\dfrac{2 \cdot \text{面积}}{\text{斜边}}$ 。

Two altitudes are the legs; the third is $\dfrac{2 \cdot \text{area}}{\text{hypotenuse}}$

解答：

这条直线与坐标轴交于 $(5, 0)$ 和 $(0, 12)$ ，所以该三角形是直角三角形，两条直角边为 $5$ 和 $12$ ，斜边为 $13$ ，面积为 $30$ 。

两条高是直角边 $5$ 和 $12$ ；到斜边的高为 $\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13}$ 。三条高的和为 $17 + \dfrac{60}{13} = \dfrac{281}{13}$ 。

因此，正确选项是 E。

The line meets the axes at $(5, 0)$ and $(0, 12),$ so the triangle is right with legs $5$ and $12$ and hypotenuse $13.$ Its area is $30.$

Two altitudes are the legs $5$ and $12;$ the altitude to the hypotenuse is $\dfrac{2 \cdot 30}{13} = \dfrac{60}{13}.$ The sum is $17 + \dfrac{60}{13} = \dfrac{281}{13}.$

Thus, the correct answer is E.

2015 AMC 12B 第 11 题

答案：E

难度评级：1510

小提示：

大提示：

解答：

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