Question

三角形的垂心是三条（必要时延长的）高的共点交点。顶点为 $A(2, 31)$ 、 $B(8, 27)$ 和 $C(18, 27)$ 的三角形，其垂心坐标之和是多少？

The orthocenter of a triangle is the concurrent intersection of the three (possibly extended) altitudes. What is the sum of the coordinates of the orthocenter of the triangle whose vertices are $A(2, 31),$ $B(8, 27),$ and $C(18, 27)?$

$5$

$17$

$10 + 4\sqrt{17} + 2\sqrt{13}$

$\dfrac{113}{3}$

$54$

答案：A

知识点：坐标几何高线斜率

难度评级：1570

小提示：

$B$ 和 $C$ 同在直线 $y = 27$ 上，所以从 $A$ 作的高是竖直直线 $x = 2$

$B$ and $C$ share $y = 27,$ so the altitude from $A$ is the vertical line $x = 2$

大提示：

从 $B$ 作的高垂直于 $AC$ ；将它与 $x = 2$ 相交

The altitude from $B$ is perpendicular to $AC$ ; intersect it with $x = 2$

解答：

由于 $B$ 和 $C$ 都在直线 $y = 27$ 上，边 $BC$ 是水平的，所以从 $A$ 作的高是竖直直线 $x = 2$ 。

边 $AC$ 的斜率为 $\dfrac{27 - 31}{18 - 2} = -\dfrac{1}{4}$ ，所以从 $B$ 作的高斜率为 $4$ ： $y - 27 = 4(x - 8)\text{。}$

当 $x = 2$ 时， $y = 27 + 4(2 - 8) = 3$ 。垂心为 $(2, 3)$ ，坐标和为 $5$ 。

因此，正确答案是 A。

Since $B$ and $C$ both have $y = 27,$ side $BC$ is horizontal and the altitude from $A$ is the vertical line $x = 2.$

Side $AC$ has slope $\dfrac{27 - 31}{18 - 2} = -\dfrac{1}{4},$ so the altitude from $B$ has slope $4$ : $y - 27 = 4(x - 8).$

At $x = 2,$ $y = 27 + 4(2 - 8) = 3.$ The orthocenter is $(2, 3),$ with coordinate sum $5.$

Thus, the correct answer is A.

2025 AMC 12A 第 11 题

答案：A

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

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