Question

对某个正整数 $k$ ，分数 $\dfrac{7}{51}$ 的 $k$ 进制循环表示为 $0.\overline{23}_k = 0.232323\ldots_k$ 。求 $k$ ？

For some positive integer $k,$ the repeating base- $k$ representation of the (base-ten) fraction $\dfrac{7}{51}$ is $0.\overline{23}_k = 0.232323\ldots_k.$ What is $k?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

答案：D

知识点：进制循环小数二次方程

难度评级：1440

小提示：

$k$ 进制中两位循环节的值为 $\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1}$ 。

A two-digit repeating block in base $k$ equals $\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1}$

大提示：

令 $\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}$ ，然后清分母

Set $\dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}$ and clear denominators

解答：

循环节给出 $0.\overline{23}_k = \dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}\text{。}$

交叉相乘得 $51(2k + 3) = 7(k^2 - 1)$ ，所以 $7k^2 - 102k - 160 = 0$ 。

由二次公式， $\begin{aligned} k &= \dfrac{102 + \sqrt{14884}}{14} \\ &= \dfrac{102 + 122}{14} = 16 \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 D。

The repeating block gives $0.\overline{23}_k = \dfrac{2k + 3}{k^2 - 1} = \dfrac{7}{51}.$

Cross-multiplying, $51(2k + 3) = 7(k^2 - 1),$ so $7k^2 - 102k - 160 = 0.$

The quadratic formula gives $\begin{aligned} k &= \dfrac{102 + \sqrt{14884}}{14} \\ &= \dfrac{102 + 122}{14} = 16. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

2019 AMC 12A 第 11 题

答案：D

难度评级：1440

小提示：

大提示：

解答：

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