Question

对每个实数 $x$ ，令 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数（即满足 $n\le x\lt n+1$ 的整数 $n$ ）。下列哪些陈述正确？

$\mathrm{I}$ 。对所有 $x$ ，都有 $[x+1]=[x]+1$

$\mathrm{II}$ 。对所有 $x$ 和 $y$ ，都有 $[x+y]=[x]+[y]$

$\mathrm{III}$ 。对所有 $x$ 和 $y$ ，都有 $[xy]=[x][y]$

For each real number $x,$ let $[x]$ be the largest integer not exceeding $x$ (i.e., the integer $n$ such that $n\le x\lt n+1$ ). Which of the following statements is (are) true?

$\mathrm{I}.$ $[x+1]=[x]+1$ for all $x$

$\mathrm{II}.$ $[x+y]=[x]+[y]$ for all $x$ and $y$

$\mathrm{III}.$ $[xy]=[x][y]$ for all $x$ and $y$

都不正确

none

只有 $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

只有 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$ only

只有 $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

全部正确

all

答案：B

知识点：取整函数反例

难度评级：1530

小提示：

从 $n\le x\lt n+1$ 直接证明平移性质

Prove the translation statement directly from $n\le x\lt n+1$

大提示：

用 $1$ 与 $2$ 之间的非整数检验另外两项陈述

Test the other two claims using noninteger values between $1$ and $2$

解答：

若 $n\le x\lt n+1$ ，则 $n+1\le x+1\lt n+2$ ，所以 $\mathrm{I}$ 正确。取 $x=y=\frac{3}{2}$ ，可得 $[x+y]=3\ne2=[x]+[y]$ 且 $[xy]=2\ne1=[x][y]$ 。因此 $\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$ 错误。

因此，正确答案是 B。

If $n\le x\lt n+1,$ then $n+1\le x+1\lt n+2,$ so $\mathrm{I}$ is true. Taking $x=y=\frac{3}{2}$ gives $[x+y]=3\ne2=[x]+[y]$ and $[xy]=2\ne1=[x][y].$ Thus $\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ are false.

Therefore, the correct answer is B.

1977 AMC 12 第 11 题

答案：B

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题