Question

求所有满足以下条件的实数 $x$ 的乘积：数轴上 $\log_6 x$ 与 $\log_6 9$ 的距离，等于 $\log_6 10$ 与 $1$ 的距离的两倍。

What is the product of all real numbers $x$ such that the distance on the number line between $\log_6 x$ and $\log_6 9$ is twice the distance on the number line between $\log_6 10$ and $1?$

$10$

$18$

$25$

$36$

$81$

答案：E

知识点：对数绝对值

难度评级：1530

小提示：

$\log_6 10-1=\log_6\dfrac{10}{6}=\log_6\dfrac53$ 。

$\log_6 10-1=\log_6\dfrac{10}{6}=\log_6\dfrac53$

大提示：

条件为 $\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9}$ 。

The condition is $\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9}$

解答：

右侧的距离为 $|\log_6 10-1|=\log_6\dfrac53$ ，所以它的两倍为 $2\log_6\dfrac53=\log_6\dfrac{25}{9}$ 。

因此 $\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9}$ ，得 $\dfrac{x}{9}=\dfrac{25}{9}$ 或 $\dfrac{x}{9}=\dfrac{9}{25}$ ，所以 $x=25$ 或 $x=\dfrac{81}{25}$ 。

它们的乘积为 $25\cdot\dfrac{81}{25}=81$ 。

因此，正确答案是 E。

The right-hand distance is $|\log_6 10-1|=\log_6\dfrac53,$ so twice it is $2\log_6\dfrac53=\log_6\dfrac{25}{9}.$

Thus $\left|\log_6\dfrac{x}{9}\right|=\log_6\dfrac{25}{9},$ giving $\dfrac{x}{9}=\dfrac{25}{9}$ or $\dfrac{x}{9}=\dfrac{9}{25},$ so $x=25$ or $x=\dfrac{81}{25}.$

Their product is $25\cdot\dfrac{81}{25}=81.$

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12A 第 11 题

答案：E

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题