Question

有多少种方法可以把 $1$ 到 $14$ 的数分成 $7$ 对，使得每一对中较大的数至少是较小的数的 $2$ 倍？

What is the number of ways the numbers from $1$ to $14$ can be split into $7$ pairs such that for each pair, the greater number is at least $2$ times the smaller number?

$108$

$120$

$126$

$132$

$144$

答案：E

知识点：有限制的排列乘法原理

难度评级：1570

小提示：

数 $m$ 只有在 $2m\le14$ 时才可能是一对中较小的数

A number $m$ can be the smaller of its pair only if $2m\le14$

大提示：

所以 $1$ 到 $7$ 是较小元素， $8$ 到 $14$ 是较大元素；从限制最紧的较小数开始分配

So $1$ – $7$ are the smaller elements and $8$ – $14$ the larger; assign greedily from the tightest smaller number

解答：

任何大于或等于 $8$ 的数都不能作为较小元素（它的两倍超过 $14$ ），所以 $8$ 到 $14$ 都是较大元素， $1$ 到 $7$ 都是较小元素。

将每个较小数 $s$ 配到一个较大数 $g\ge2s$ 。从限制最强的开始： $s=7$ 强制 $g=14$ （ $1$ 种）；然后 $s=6$ 可配剩下的 $\{12,13\}$ （ $2$ 种）； $s=5$ 有 $3$ 种； $s=4$ 有 $4$ 种； $s=3$ 有 $3$ 种； $s=2$ 有 $2$ 种； $s=1$ 有 $1$ 种。

匹配数为 $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=144$ 。

因此，正确答案是 E。

Any number $8$ or larger cannot be a smaller element (its double exceeds $14$ ), so $8$ – $14$ are all larger elements and $1$ – $7$ are all smaller elements.

Match each smaller $s$ to a larger $g\ge2s.$ Processing from the most restrictive: $s=7$ forces $g=14$ ( $1$ way); then $s=6$ has $\{12,13\}$ left ( $2$ ); $s=5$ has $3;$ $s=4$ has $4;$ $s=3$ has $3;$ $s=2$ has $2;$ $s=1$ has $1.$

The number of matchings is $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=144.$

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12A 第 10 题

答案：E

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题