Question

一个四边形顶点为 $P(a,b)$ 、 $Q(b,a)$ 、 $R(-a,-b)$ 、 $S(-b,-a)$ ，其中 $a$ 、 $b$ 为整数且 $a\gt b\gt0$ 。 $PQRS$ 的面积为 $16$ 。 $a+b$ 是多少？

A quadrilateral has vertices $P(a,b),$ $Q(b,a),$ $R(-a,-b),$ and $S(-b,-a),$ where $a$ and $b$ are integers with $a\gt b\gt0.$ The area of $PQRS$ is $16.$ What is $a+b?$

$4$

$5$

$6$

$12$

$13$

答案：A

知识点：坐标几何矩形平方差

难度评级：1500

小提示：

检查斜率： $\overline{PQ}$ 和 $\overline{RS}$ 的斜率为 $-1$ ，而 $\overline{QR}$ 和 $\overline{PS}$ 的斜率为 $1$ ，所以 $PQRS$ 是长方形。

Check the slopes: $\overline{PQ}$ and $\overline{RS}$ have slope $-1,$ while $\overline{QR}$ and $\overline{PS}$ have slope $1,$ so $PQRS$ is a rectangle

大提示：

它的边长为 $(a-b)\sqrt2$ 与 $(a+b)\sqrt2$ ，所以面积为 $2(a^2-b^2)=16$ 。

Its sides are $(a-b)\sqrt2$ and $(a+b)\sqrt2,$ so the area is $2(a^2-b^2)=16$

解答：

边 $\overline{PQ}$ 与 $\overline{RS}$ 的斜率为 $-1$ ， $\overline{QR}$ 与 $\overline{PS}$ 的斜率为 $1$ ，所以 $PQRS$ 是长方形，边长为 $(a-b)\sqrt2$ 与 $(a+b)\sqrt2$ 。它的面积为 $2(a-b)(a+b)=2(a^2-b^2)$ $=16$ ，所以 $a^2-b^2=8$ 。唯一相差 $8$ 的两个完全平方数是 $9$ 和 $1$ ，因此 $a=3$ 、 $b=1$ ，从而 $a+b=4$ 。

所以正确答案是 A。

The sides $\overline{PQ}$ and $\overline{RS}$ have slope $-1,$ and $\overline{QR}$ and $\overline{PS}$ have slope $1,$ so $PQRS$ is a rectangle with sides $(a-b)\sqrt2$ and $(a+b)\sqrt2.$ Its area is $2(a-b)(a+b)=2(a^2-b^2)$ $=16,$ so $a^2-b^2=8.$ The only perfect squares differing by $8$ are $9$ and $1,$ giving $a=3,$ $b=1,$ and $a+b=4.$

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 12B 第 10 题

答案：A

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题