Question

正六边形 $ABCDEF$ 的边长为 $2$ 。设 $G$ 为 $\overline{AB}$ 的中点， $H$ 为 $\overline{DE}$ 的中点。四边形 $GCHF$ 的周长是多少？

Regular hexagon $ABCDEF$ has side length $2.$ Let $G$ be the midpoint of $\overline{AB},$ and let $H$ be the midpoint of $\overline{DE}.$ What is the perimeter of $GCHF?$

$4\sqrt3$

$8$

$4\sqrt5$

$4\sqrt7$

$12$

答案：D

知识点：正多边形距离公式坐标几何

难度评级：1500

小提示：

将正六边形放在坐标系中，并把中心设为原点。

Place the hexagon on coordinates with its center at the origin

大提示：

由对称性， $GCHF$ 的四条边相等；用距离公式算一条边。

By symmetry all four sides of $GCHF$ are equal; compute one distance with the distance formula

解答：

将中心置于原点，取 $A = (-1, \sqrt3)$ ， $B = (1, \sqrt3)$ ， $C = (2, 0)$ ， $D = (1, -\sqrt3)$ ， $E = (-1, -\sqrt3)$ ， $F = (-2, 0)$ 。

则 $G = (0, \sqrt3)$ ， $H = (0, -\sqrt3)$ 。由对称性，四边形 $GCHF$ 的四条边相等，并且 $GC = \sqrt{2^2 + (\sqrt3)^2} = \sqrt7\text{。}$

所以周长为 $4\sqrt7$ 。

所以正确答案是 D。

Place the hexagon with center at the origin: $A = (-1, \sqrt3),$ $B = (1, \sqrt3),$ $C = (2, 0),$ $D = (1, -\sqrt3),$ $E = (-1, -\sqrt3),$ $F = (-2, 0).$

Then $G = (0, \sqrt3)$ and $H = (0, -\sqrt3).$ By symmetry all four sides of $GCHF$ are equal, and $GC = \sqrt{2^2 + (\sqrt3)^2} = \sqrt7.$

The perimeter is $4\sqrt7.$

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 12B 第 10 题

答案：D

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

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