Question

在四边形 $ABCD$ 中， $AB = 5$ ， $BC = 17$ ， $CD = 5$ ， $DA = 9$ ，且 $BD$ 是整数。求 $BD$ ？

In quadrilateral $ABCD,$ $AB = 5,$ $BC = 17,$ $CD = 5,$ $DA = 9,$ and $BD$ is an integer. What is $BD?$

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

对 $\triangle BCD$ 和 $\triangle ABD$ 使用三角形不等式。

Apply the triangle inequality to $\triangle BCD$ and $\triangle ABD$

由 $\triangle BCD$ ， $BD \gt 12$ ，由 $\triangle ABD$ ， $BD \lt 14$ 。

From $\triangle BCD,$ $BD \gt 12,$ and from $\triangle ABD,$ $BD \lt 14$

在 $\triangle BCD$ 中，三角形不等式给出 $BD + CD \gt BC$ ，所以 $BD + 5 \gt 17$ ，即 $BD \gt 12$ 。

在 $\triangle ABD$ 中， $AB + DA \gt BD$ ，所以 $BD \lt 5 + 9 = 14$ 。

唯一满足 $12 \lt BD \lt 14$ 的整数是 $13$ 。

因此，正确答案是 C。

In $\triangle BCD,$ the triangle inequality gives $BD + CD \gt BC,$ so $BD + 5 \gt 17$ and $BD \gt 12.$

In $\triangle ABD,$ $AB + DA \gt BD,$ so $BD \lt 5 + 9 = 14.$

The only integer with $12 \lt BD \lt 14$ is $13.$

Thus, the correct answer is C.