Question

有多少个实数 $x$ 使得 $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ 是整数？

For how many real values of $x$ is $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ an integer?

$3$

$6$

$9$

$10$

$11$

令 $\sqrt{120 - \sqrt{x}} = k$ ，其中 $k$ 为非负整数。

Set $\sqrt{120 - \sqrt{x}} = k$ for a nonnegative integer $k$

需要 $k^2 \le 120$ ，且每个有效的 $k$ 给出不同的 $x = (120 - k^2)^2$ 。

Need $k^2 \le 120,$ and each valid $k$ gives a distinct $x = (120 - k^2)^2$

令 $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}$ 为整数。那么 $k \ge 0$ ，且 $k^2 = 120 - \sqrt{x} \le 120$ ，所以 $0 \le k \le 10$ 。

每个这样的 $k$ 都给出 $\sqrt{x} = 120 - k^2 \ge 0$ ，因而给出不同的 $x = (120 - k^2)^2$ 。共有 $11$ 个值。

因此，正确答案是 E。

Let $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}$ be an integer. Then $k \ge 0$ and $k^2 = 120 - \sqrt{x} \le 120,$ so $0 \le k \le 10.$

Each such $k$ gives $\sqrt{x} = 120 - k^2 \ge 0,$ hence a distinct value $x = (120 - k^2)^2.$ That is $11$ values.

Thus, the correct answer is E.