Question

Oscar 用 $\$1.00$ 买了 $13$ 支铅笔和 $3$ 块橡皮。一支铅笔比一块橡皮贵，且每件物品的价格都是整数美分。一支铅笔和一块橡皮的总价是多少美分？

Oscar buys $13$ pencils and $3$ erasers for $\$1.00.$ A pencil costs more than an eraser, and both items cost a whole number of cents. What is the total cost, in cents, of one pencil and one eraser?

$10$

$12$

$15$

$18$

$20$

答案：A

知识点：丢番图方程整除性

难度评级：1430

小提示：

分组为 $3$ 组“一支铅笔加一块橡皮”，再加 $10$ 支额外铅笔。

Group as $3$ sets of one pencil and one eraser, plus $10$ extra pencils

大提示：

若 $s$ 是一支铅笔和一块橡皮的总价，则 $3s + 10p = 100$ ，所以 $3s$ 是 $10$ 的倍数。

If $s$ is the cost of one pencil plus one eraser, then $3s + 10p = 100,$ so $3s$ is a multiple of $10$

解答：

设 $p$ 为一支铅笔的价格， $s$ 为一支铅笔加一块橡皮的总价，单位为美分。那么 $13p + 3e = 3s + 10p = 100\text{，}$ 所以 $3s$ 是 $10$ 的倍数且小于 $100$ 。因此 $s \in \{10, 20, 30\}$ ，对应的 $p = 7, 4, 1$ 。

因为铅笔比橡皮贵， $p \gt \tfrac{s}{2}$ ，只有 $s = 10$ 满足（铅笔 $7$ 美分，橡皮 $3$ 美分）。所以一支铅笔和一块橡皮共 $10$ 美分。

因此，正确答案是 A。

Let $p$ be a pencil’s cost and $s$ the cost of one pencil plus one eraser, in cents. Then $13p + 3e = 3s + 10p = 100,$ so $3s$ is a multiple of $10$ less than $100.$ Hence $s \in \{10, 20, 30\},$ with $p = 7, 4, 1$ respectively.

Since a pencil costs more than an eraser, $p \gt \tfrac{s}{2},$ which holds only for $s = 10$ (pencil $7,$ eraser $3$ ). So one pencil and one eraser cost $10$ cents.

Thus, the correct answer is A.

2006 AMC 12A 第 9 题

答案：A

难度评级：1430

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题