Question

有多少个整数 $x$ ，使得边长为 $\log_2 x$ 、 $\log_4 x$ 和 $3$ 的三角形面积为正？

For how many integral values of $x$ can a triangle of positive area be formed having side lengths $\log_2 x,$ $\log_4 x,$ and $3?$

$57$

$59$

$61$

$62$

$63$

令 $t=\log_2 x$ ，则 $\log_4 x=\dfrac{t}{2}$ 。

Let $t=\log_2 x,$ so $\log_4 x=\dfrac{t}{2}$

对边长 $t,\ \dfrac{t}{2},\ 3$ 应用三角形不等式

Apply the triangle inequality to sides $t,\ \dfrac{t}{2},\ 3$

令 $t=\log_2 x$ ，则 $\log_4 x=\dfrac{t}{2}$ ，三边为 $t,\ \dfrac{t}{2},\ 3$ 。

三角形不等式给出 $t+\dfrac{t}{2}\gt3$ （所以 $t\gt2$ ）以及 $\dfrac{t}{2}+3\gt t$ （所以 $t\lt6$ ）；第三个不等式自动成立。

因此 $2\lt\log_2 x\lt6$ ，即 $4\lt x\lt64$ 。整数 $5,6,\ldots,63$ 共有 $59$ 个。

所以正确答案是 B。

Let $t=\log_2 x.$ Then $\log_4 x=\dfrac{t}{2},$ and the sides are $t,\ \dfrac{t}{2},\ 3.$

The triangle inequalities give $t+\dfrac{t}{2}\gt3$ (so $t\gt2$ ) and $\dfrac{t}{2}+3\gt t$ (so $t\lt6$ ); the third inequality is automatic.

Thus $2\lt\log_2 x\lt6,$ i.e. $4\lt x\lt64.$ The integers $5,6,\ldots,63$ number $59.$

Thus, B is the correct answer.