Question

下列哪一项描述了闭区间 $[0, \pi]$ 内满足下面条件的 $y$ 的最大取值集合： $\sin(x + y) \le \sin(x) + \sin(y)$ 对每个介于 $0$ 和 $\pi$ 之间（含端点）的 $x$ 都成立？

Which of the following describes the largest subset of values of $y$ within the closed interval $[0, \pi]$ for which $\sin(x + y) \le \sin(x) + \sin(y)$ for every $x$ between $0$ and $\pi,$ inclusive?

$y = 0$

$0 \le y \le \tfrac{\pi}{4}$

$0 \le y \le \tfrac{\pi}{2}$

$0 \le y \le \tfrac{3\pi}{4}$

$0 \le y \le \pi$

答案：E

知识点：三角恒等式不等式

难度评级：1500

小提示：

展开 $\sin(x+y)$ $= \sin x \cos y + \cos x \sin y$ 。

Expand $\sin(x+y)$ $= \sin x \cos y + \cos x \sin y$

大提示：

对于 $x, y \in [0, \pi]$ 有 $\sin x, \sin y \ge 0$ 且 $\cos x, \cos y \le 1$ ；逐项比较

For $x, y \in [0, \pi]$ both $\sin x, \sin y \ge 0$ and $\cos x, \cos y \le 1;$ compare term by term

解答：

对于 $0 \le x \le \pi$ 和 $0 \le y \le \pi$ ，有 $\sin x \ge 0$ 、 $\sin y \ge 0$ 、 $\cos x \le 1$ 且 $\cos y \le 1$ 。因此 $\begin{aligned} \sin(x+y) &= \sin x \cos y \\ &\quad {}+ \cos x \sin y \\ &\le \sin x + \sin y\text{。} \end{aligned}$ 所以这个不等式对每个满足 $0 \le y \le \pi$ 的 $y$ 都成立。

所以正确答案是 E。

For $0 \le x \le \pi$ and $0 \le y \le \pi$ we have $\sin x \ge 0,$ $\sin y \ge 0,$ $\cos x \le 1,$ and $\cos y \le 1.$ Hence $\begin{aligned} \sin(x+y) &= \sin x \cos y \\ &\quad {}+ \cos x \sin y \\ &\le \sin x + \sin y. \end{aligned}$ The inequality therefore holds for every $y$ with $0 \le y \le \pi.$

Thus, the correct answer is E.

2018 AMC 12A 第 9 题

答案：E

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题