Question

在一个双胞胎和三胞胎大会上，有 $9$ 组双胞胎和 $6$ 组三胞胎，且都来自不同家庭。每个双胞胎成员都与除自己兄弟姐妹外的所有双胞胎成员握手，并与一半的三胞胎成员握手。每个三胞胎成员都与除自己兄弟姐妹外的所有三胞胎成员握手，并与一半的双胞胎成员握手。一共发生了多少次握手？

At a twins and triplets convention, there were $9$ sets of twins and $6$ sets of triplets, all from different families. Each twin shook hands with all the twins except his/her sibling and with half the triplets. Each triplet shook hands with all the triplets except his/her siblings and with half the twins. How many handshakes took place?

$324$

$441$

$630$

$648$

$882$

答案：B

知识点：数对计数分类讨论

难度评级：1440

小提示：

有 $18$ 名双胞胎成员和 $18$ 名三胞胎成员；分别数双胞胎之间、三胞胎之间、以及双胞胎和三胞胎之间的握手

There are $18$ twins and $18$ triplets; count twin-twin, triplet-triplet, and twin-triplet handshakes separately

大提示：

每个双胞胎成员与 $16$ 名双胞胎成员握手，每个三胞胎成员与 $15$ 名三胞胎成员握手；这两部分总数都要除以 $2$

Each twin greets $16$ twins and each triplet greets $15$ triplets; divide those two totals by $2$

解答：

共有 $18$ 名双胞胎成员和 $18$ 名三胞胎成员。

双胞胎之间的握手：每个双胞胎成员与 $18 - 2 = 16$ 名其他双胞胎成员握手，得到 $\dfrac{18 \cdot 16}{2} = 144$ 。

三胞胎之间的握手：每个三胞胎成员与 $18 - 3 = 15$ 名其他三胞胎成员握手，得到 $\dfrac{18 \cdot 15}{2} = 135$ 。

双胞胎和三胞胎之间的握手：每个双胞胎成员与 $18$ 名三胞胎成员中的一半握手，得到 $18 \cdot 9 = 162$ （每次这种握手只计一次）。

总数为 $144 + 135 + 162 = 441$ 。

因此，正确答案是 B。

There are $18$ twins and $18$ triplets.

Twin-twin handshakes: each twin shakes $18 - 2 = 16$ other twins, giving $\dfrac{18 \cdot 16}{2} = 144.$

Triplet-triplet handshakes: each triplet shakes $18 - 3 = 15$ other triplets, giving $\dfrac{18 \cdot 15}{2} = 135.$

Twin-triplet handshakes: each twin shakes half the $18$ triplets, giving $18 \cdot 9 = 162$ (each such handshake counted once).

The total is $144 + 135 + 162 = 441.$

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12A 第 9 题

答案：B

难度评级：1440

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题