Question

半径为 $r$ 的半圆内所能内接的最大三角形的面积为：

The area of the largest triangle that can be inscribed in a semicircle whose radius is $r$ is:

$r^2$

$r^3$

$2r^2$

$2r^3$

$\dfrac12r^2$

答案：A

知识点：三角形面积圆最优化

难度评级：1600

小提示：

最长的底边是半圆的直径

The longest possible base is the diameter of the semicircle

大提示：

以直径为底边时，最大高等于半径

With the diameter as base, the greatest possible altitude is the radius

解答：

半圆内三角形的底边至多为直径 $2r$ ，高至多为 $r$ 。因此，其面积至多为 $\frac12(2r)(r)=r^2\text{。}$ 取直径为底边、半圆的最高点为第三个顶点时，可以达到这个上界。

因此，正确答案是 A。

A triangle in the semicircle has base at most the diameter $2r$ and altitude at most $r.$ Therefore its area is at most $\frac12(2r)(r)=r^2.$ This bound is attained by using the diameter as the base and the topmost point of the semicircle as the third vertex.

Thus, the correct answer is A.

1950 AMC 12 第 9 题

答案：A

难度评级：1600

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题