Question

在 $xy$ 平面中，一条竖直直线将顶点为 $(0,0)$ 、 $(1,1)$ 和 $(9,1)$ 的三角形分成面积相等的两个区域。这条直线的方程为 $x=$

A vertical line divides the triangle with vertices $(0,0),$ $(1,1)$ and $(9,1)$ in the $xy$ -plane into two regions of equal area. The equation of the line is $x=$

$2.5$

$3.0$

$3.5$

$4.0$

$4.5$

答案：B

知识点：坐标几何面积微积分

难度评级：1630

小提示：

当 $1\le x\le9$ 时，三角形位于 $y=\frac{x}{9}$ 与 $y=1$ 之间

For $1\le x\le9,$ the triangle lies between $y=\frac{x}{9}$ and $y=1$

大提示：

令累计面积等于三角形总面积的一半

Set the accumulated area to one half of the triangle’s total area

解答：

三角形的面积为 $4$ 。当 $0\le x\le1$ 时，该部分面积为 $\int_0^1\left(x-\frac x9\right)\,dx=\frac49\text{。}$ 对于截线 $x=t\ge1$ ，其左侧面积为 $\frac49+\int_1^t(1-\frac{x}{9})\,dx$ 。令其等于 $2$ ，得到 $t-\frac{t^2}{18}=\frac{5}{2}$ ，相关的解为 $t=3$ 。

所以正确答案是 B。

The triangle has area $4.$ The portion with $0\le x\le1$ has area $\int_0^1\left(x-\frac x9\right)\,dx=\frac49.$ For a cut $x=t\ge1,$ the area to its left is therefore $\frac49+\int_1^t(1-\frac{x}{9})\,dx.$ Setting this equal to $2$ gives $t-\frac{t^2}{18}=\frac{5}{2},$ whose relevant solution is $t=3.$

Therefore, the correct answer is B.

1982 AMC 12 第 9 题

答案：B

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题