Question

设 $K$ 是一个梯形的面积，单位为平方单位，并且该梯形的短底、高、长底依次成等差数列。则：

Let $K,$ in square units, be the area of a trapezoid such that the shorter base, the altitude, and the longer base, in that order, are in arithmetic progression. Then:

$K$ 必须是整数

$K$ must be an integer

$K$ 必须是有理分数

$K$ must be a rational fraction

$K$ 必须是无理数

$K$ must be an irrational number

$K$ 必须是整数或有理分数

$K$ must be an integer or a rational fraction

$(A)$ 、 $(B)$ 、 $(C)$ 、 $(D)$ 单独看都不成立

taken alone neither $(A)$ nor $(B)$ nor $(C)$ nor $(D)$ is true

答案：E

知识点：梯形等差数列面积

难度评级：1650

小提示：

将三个长度写成 $a-d$ 、 $a$ 、 $a+d$

Write the three lengths as $a-d,$ $a,$ and $a+d$

大提示：

所得面积为 $a^2$ ，但题目没有限制 $a$ 是哪一类数

The resulting area is $a^2,$ but the problem does not restrict the kind of number $a$ is

解答：

设短底、高、长底分别为 $a-d$ 、 $a$ 、 $a+d$ 。则 $\begin{aligned} K&=\frac12a\bigl((a-d)+(a+d)\bigr)\\ &=a^2 \end{aligned}\text{。}$ 随 $a$ 的取值不同，它可以是整数、非整数有理数或无理数。选项 (A) 至 (D) 中没有一项必然成立。

因此，正确答案是 E。

Let the shorter base, altitude, and longer base be $a-d,$ $a,$ and $a+d.$ Then $\begin{aligned} K&=\frac12a\bigl((a-d)+(a+d)\bigr)\\ &=a^2. \end{aligned}$ Depending on $a,$ this can be an integer, a nonintegral rational number, or an irrational number. No one of choices (A) through (D) must hold.

Therefore, the correct answer is E.

1967 AMC 12 第 9 题

答案：E

难度评级：1650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题