1984 AMC 12 第 9 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1984 AMC 12 第 9 题

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$4^{16}5^{25}$ （以通常的 $10$ 进制形式写出）的位数为

The number of digits in $4^{16}5^{25}$ (when written in the usual base $10$ form) is

$31$

$30$

$29$

$28$

$27$

答案：D

知识点：指数数字 2的幂

难度评级：1750

小提示：

将 $4$ 的幂改写为 $2$ 的幂

Rewrite the power of $4$ as a power of $2$

大提示：

把 $25$ 个因数 $2$ 与 $25$ 个因数 $5$ 配对

Pair $25$ factors of $2$ with the $25$ factors of $5$

解答：

有 $\begin{aligned} 4^{16}5^{25} &=2^{32}5^{25}\\ &=2^7\cdot10^{25}\\ &=128\cdot10^{25} \end{aligned}\text{。}$ 这是 $128$ 后面跟着 $25$ 个零，所以共有 $3+25=28$ 位。正确答案是 D。

We have $\begin{aligned} 4^{16}5^{25} &=2^{32}5^{25}\\ &=2^7\cdot10^{25}\\ &=128\cdot10^{25}. \end{aligned}$ This is $128$ followed by $25$ zeros, so it has $3+25=28$ digits. Therefore, the correct answer is D.

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