Question

一个面积为 $2$ 的正方形内接于一个面积为 $3$ 的正方形中，形成四个全等三角形，如下图所示。阴影直角三角形的较短直角边与较长直角边之比是多少？

A square of area $2$ is inscribed in a square of area $3,$ creating four congruent triangles, as shown below. What is the ratio of the shorter leg to the longer leg in the shaded right triangle?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$2-\sqrt{3}$

$\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\sqrt{2}-1$

答案：C

知识点：正方形（几何）勾股定理方程组

难度评级：1500

小提示：

外正方形边长为 $\sqrt3$ ，内正方形边长为 $\sqrt2$

The outer square has side $\sqrt3$ and the inner square has side $\sqrt2$

大提示：

若直角边为 $p$ 和 $q$ ，则 $p+q=\sqrt3$ ，且 $p^2+q^2=2$

If the legs are $p$ and $q,$ then $p+q=\sqrt3$ and $p^2+q^2=2$

解答：

外正方形边长为 $\sqrt3$ ，内正方形边长为 $\sqrt2$ 。每个三角形是直角三角形，其两条直角边 $p$ 和 $q$ 沿着外正方形的一条边，所以 $p+q=\sqrt3$ ；其斜边是内正方形的一条边，所以 $p^2+q^2=2$ 。

由 $(p+q)^2=3$ 可得 $2pq=1$ ，所以 $p$ 和 $q$ 是 $t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0$ 的两个根，即 $\dfrac{\sqrt3\pm 1}{2}$ 。

较短边与较长边之比为 $\begin{gathered} \dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\\ {}=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}\\ {}=2-\sqrt3 \end{gathered}\text{。}$

所以正确答案是 C。

The outer square has side $\sqrt3$ and the inner square has side $\sqrt2.$ Each triangle is right, with legs $p$ and $q$ along an outer side, so $p+q=\sqrt3,$ and with hypotenuse an inner side, so $p^2+q^2=2.$

Then $(p+q)^2=3$ gives $2pq=1,$ so $p$ and $q$ are the roots of $t^2-\sqrt3\,t+\tfrac12=0,$ namely $\dfrac{\sqrt3\pm 1}{2}.$

The ratio of shorter to longer leg is $\begin{gathered} \dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}\\ {}=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{2}\\ {}=2-\sqrt3. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

2023 AMC 12A 第 9 题

答案：C

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

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