Question

下列表达式的值是多少？ $\dfrac{\log_2 80}{\log_{40}2}-\dfrac{\log_2 160}{\log_{20}2}$

What is the value of the following expression? $\dfrac{\log_2 80}{\log_{40}2}-\dfrac{\log_2 160}{\log_{20}2}$

$0$

$1$

$\dfrac{5}{4}$

$2$

$\log_2 5$

答案：D

知识点：对数代数变形

难度评级：1520

小提示：

$\dfrac{1}{\log_{40}2}=\log_2 40$ ，另一个倒数也类似

$\dfrac{1}{\log_{40}2}=\log_2 40,$ and similarly for the other reciprocal

大提示：

全部写成 $t=\log_2 5$ 的形式，因为 $\log_2 80=4+t$ ，等等

Write everything in terms of $t=\log_2 5,$ since $\log_2 80=4+t,$ etc.

解答：

利用 $\dfrac{1}{\log_{40}2}=\log_2 40$ 和 $\dfrac{1}{\log_{20}2}=\log_2 20$ ，原式变为 $(\log_2 80)(\log_2 40)$ $-(\log_2 160)(\log_2 20)$ 。

令 $t=\log_2 5$ ，则 $\log_2 80=4+t$ ， $\log_2 40=3+t$ ， $\log_2 160=5+t$ ， $\log_2 20=2+t$ 。

原式为 $(4+t)(3+t)$ $-(5+t)(2+t)$ $=(12+7t+t^2)$ $-(10+7t+t^2)$ $=2$ 。

所以正确答案是 D。

Using $\dfrac{1}{\log_{40}2}=\log_2 40$ and $\dfrac{1}{\log_{20}2}=\log_2 20,$ the expression becomes $(\log_2 80)(\log_2 40)$ $-(\log_2 160)(\log_2 20).$

Let $t=\log_2 5.$ Then $\log_2 80=4+t,$ $\log_2 40=3+t,$ $\log_2 160=5+t,$ $\log_2 20=2+t.$

The value is $(4+t)(3+t)$ $-(5+t)(2+t)$ $=(12+7t+t^2)$ $-(10+7t+t^2)$ $=2.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring 第 9 题

答案：D

难度评级：1520

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题