2021 AMC 12B Spring 真题与在线限时测验

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1:15:00

1.

有多少个整数 $x$ 满足 $|x| \lt 3\pi$ ？

How many integer values of $x$ satisfy $|x| \lt 3\pi?$

$9$

$10$

$18$

$19$

$20$

答案：D

知识点：绝对值估算

难度评级：870

小提示：

$3\pi$ 比 $9$ 稍大

$3\pi$ is a little more than $9$

大提示：

数出从 $-9$ 到 $9$ 的所有整数，包括两端

Count the integers from $-9$ to $9$ inclusive

解答：

因为 $3\pi \approx 9.42$ ，不等式 $|x| \lt 3\pi$ 表示 $-9.42 \lt x \lt 9.42$ 。

这个范围内的整数从 $-9$ 到 $9$ ，共有 $19$ 个。

所以正确答案是 D。

Since $3\pi \approx 9.42,$ the inequality $|x| \lt 3\pi$ means $-9.42 \lt x \lt 9.42.$

The integers in this range run from $-9$ to $9,$ giving $19$ values.

Thus, the correct answer is D.

2.

在一次数学竞赛中， $57$ 名学生穿蓝衬衫，另外 $75$ 名学生穿黄衬衫。这 $132$ 名学生被分成 $66$ 对。恰好有 $23$ 对中的两名学生都穿蓝衬衫。有多少对中的两名学生都穿黄衬衫？

At a math contest, $57$ students are wearing blue shirts, and another $75$ students are wearing yellow shirts. The $132$ students are assigned into $66$ pairs. In exactly $23$ of these pairs, both students are wearing blue shirts. In how many pairs are both students wearing yellow shirts?

$23$

$32$

$37$

$41$

$64$

答案：B

知识点：基本计数奇偶性

难度评级：1040

小提示：

$23$ 对全蓝组合用掉 $46$ 名蓝衬衫学生

The $23$ all-blue pairs use $46$ blue students

大提示：

先数混合配对中剩下的蓝衬衫学生，再从黄衬衫学生中去掉同样的人数

Count the blue students left in mixed pairs, then remove that many yellow students

解答：

$23$ 对全蓝组合用了 $46$ 名蓝衬衫学生，还剩 $57 - 46 = 11$ 名蓝衬衫学生。

这 $11$ 名蓝衬衫学生每人都必须和一名黄衬衫学生配对，所以有 $11$ 对混合组合，用掉 $11$ 名黄衬衫学生。

剩下的 $75 - 11 = 64$ 名黄衬衫学生组成 $64 \div 2 = 32$ 对全黄组合。

所以正确答案是 B。

The $23$ all-blue pairs account for $46$ blue students, leaving $57 - 46 = 11$ blue students.

Each of those $11$ blue students must be paired with a yellow student, so there are $11$ mixed pairs, using $11$ yellow students.

The remaining $75 - 11 = 64$ yellow students form $64 \div 2 = 32$ all-yellow pairs.

Thus, the correct answer is B.

3.

假设 $2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+x}}}=\dfrac{144}{53}\text{。}$

$x$ 的值是多少？

Suppose $2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+x}}}=\dfrac{144}{53}.$

What is the value of $x?$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{14}{15}$

$\dfrac{37}{38}$

$\dfrac{52}{53}$

答案：A

知识点：连分数逆推法

难度评级：1170

小提示：

从外向内一层一层剥开，先从 $\dfrac{144}{53}$ 中减去 $2$ 。

Peel off one layer at a time, starting by subtracting $2$ from $\dfrac{144}{53}$

大提示：

在 $\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53}$ 后，取倒数并继续向内化简

After $\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53},$ take reciprocals and continue inward

解答：

从外向内计算， $\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53}$ ，所以内层分式等于 $\dfrac{38}{53}$ 。

取倒数得 $1+\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{53}{38}$ ，所以 $\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{15}{38}$ 。

于是 $2+\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{38}{15}$ ，所以 $\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{8}{15}$ ，得到 $3+x=\dfrac{15}{4}$ 。

因此 $x=\dfrac{15}{4}-3=\dfrac{3}{4}$ 。

所以正确答案是 A。

Working from the outside in, $\dfrac{144}{53}-2=\dfrac{38}{53},$ so the inner fraction equals $\dfrac{38}{53}.$

Its reciprocal gives $1+\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{53}{38},$ so $\cfrac{1}{2+\frac{2}{3+x}}=\dfrac{15}{38}.$

Then $2+\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{38}{15},$ so $\dfrac{2}{3+x}=\dfrac{8}{15},$ giving $3+x=\dfrac{15}{4}.$

Therefore $x=\dfrac{15}{4}-3=\dfrac{3}{4}.$

Thus, the correct answer is A.

4.

Blackwell 老师给两个班考试。上午班学生的平均分是 $84$ ，下午班学生的平均分是 $70$ 。上午班人数与下午班人数之比为 $\dfrac{3}{4}$ 。所有学生的平均分是多少？

Ms. Blackwell gives an exam to two classes. The mean of the scores of the students in the morning class is $84,$ and the afternoon class’s mean score is $70.$ The ratio of the number of students in the morning class to the number of students in the afternoon class is $\dfrac{3}{4}.$ What is the mean of the scores of all the students?

$74$

$75$

$76$

$77$

$78$

答案：C

知识点：平均数比与比例

难度评级：1100

小提示：

取上午班 $3$ 人、下午班 $4$ 人

Take $3$ students in the morning and $4$ in the afternoon

大提示：

总平均数是 $\dfrac{3\cdot 84+4\cdot 70}{7}$ 。

The overall mean is $\dfrac{3\cdot 84+4\cdot 70}{7}$

解答：

设上午班有 $3$ 名学生，下午班有 $4$ 名学生。

所有分数的总和是 $3\cdot 84+4\cdot 70$ $=252+280$ $=532$ 。

总平均数是 $\dfrac{532}{7}=76$ 。

所以正确答案是 C。

Suppose there are $3$ students in the morning class and $4$ in the afternoon class.

The total of all scores is $3\cdot 84+4\cdot 70$ $=252+280$ $=532.$

The overall mean is $\dfrac{532}{7}=76.$

Thus, the correct answer is C.

5.

$xy$ 平面中的点 $P(a,b)$ 先绕点 $(1,5)$ 逆时针旋转 $90^\circ$ ，再关于直线 $y=-x$ 反射。经过这两个变换后， $P$ 的像为 $(-6,3)$ 。 $b-a$ 是多少？

The point $P(a,b)$ in the $xy$ -plane is first rotated counterclockwise by $90^\circ$ around the point $(1,5)$ and then reflected about the line $y=-x.$ The image of $P$ after these two transformations is at $(-6,3).$ What is $b-a?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

答案：D

知识点：变换逆推法

难度评级：1330

小提示：

反向撤销变换：把 $(-6,3)$ 关于 $y=-x$ 反射，可以撤销最后一步

Undo the transformations: reflecting $(-6,3)$ about $y=-x$ reverses the last step

大提示：

关于 $y=-x$ 反射把 $(x,y)$ 变为 $(-y,-x)$ ；绕 $(1,5)$ 旋转 $90^\circ$ 把 $(a,b)$ 变为 $(6-b,\,4+a)$

Reflecting $(x,y)$ about $y=-x$ gives $(-y,-x);$ a $90^\circ$ rotation about $(1,5)$ sends $(a,b)$ to $(6-b,\,4+a)$

解答：

绕 $(1,5)$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 会把 $(a,b)$ 变为 $(1-(b-5),\,5+(a-1))$ $=(6-b,\,4+a)$ 。

再关于 $y=-x$ 反射（即把 $(x,y)$ 变为 $(-y,-x)$ ），得到 $(-(4+a),\,-(6-b))$ $=(-4-a,\,b-6)$ 。

令它等于 $(-6,3)$ ，得 $-4-a=-6$ 且 $b-6=3$ ，所以 $a=2$ ， $b=9$ 。

因此 $b-a=9-2=7$ 。

所以正确答案是 D。

A $90^\circ$ counterclockwise rotation about $(1,5)$ sends $(a,b)$ to $(1-(b-5),\,5+(a-1))$ $=(6-b,\,4+a).$

Reflecting that about $y=-x$ (which maps $(x,y)$ to $(-y,-x)$ ) gives $(-(4+a),\,-(6-b))$ $=(-4-a,\,b-6).$

Setting this equal to $(-6,3)$ gives $-4-a=-6$ and $b-6=3,$ so $a=2$ and $b=9.$

Therefore $b-a=9-2=7.$

Thus, the correct answer is D.

6.

一个倒置圆锥的底面半径为 $12$ 厘米，高为 $18$ 厘米，里面装满了水。把水倒入一个高圆柱中，这个圆柱的水平底面半径为 $24$ 厘米。圆柱中水的高度是多少厘米？

An inverted cone with base radius $12$ cm and height $18$ cm is full of water. The water is poured into a tall cylinder whose horizontal base has a radius of $24$ cm. What is the height in centimeters of the water in the cylinder?

$1.5$

$3$

$4$

$4.5$

$6$

答案：A

知识点：圆锥圆柱体积

难度评级：1220

小提示：

圆锥体积是 $\dfrac13\pi r^2 h$ ，圆柱体积是 $\pi r^2 h$

The volume of a cone is $\dfrac13\pi r^2 h$ and of a cylinder is $\pi r^2 h$

大提示：

令圆锥体积等于 $\pi\cdot 24^2\cdot h$ ，并解出 $h$ 。

Set the cone’s volume equal to $\pi\cdot 24^2\cdot h$ and solve for $h$

解答：

圆锥中的水量为 $\dfrac13\pi(12)^2(18)=864\pi$ 立方厘米。

倒入圆柱后，水高为 $h$ ，满足 $\pi(24)^2 h=864\pi$ 。

于是 $576h=864$ ，所以 $h=1.5$ 。

所以正确答案是 A。

The cone holds $\dfrac13\pi(12)^2(18)=864\pi$ cubic centimeters of water.

Poured into the cylinder, this fills to height $h$ where $\pi(24)^2 h=864\pi.$

Then $576h=864,$ so $h=1.5.$

Thus, the correct answer is A.

7.

设 $N=34\cdot 34\cdot 63\cdot 270$ 。 $N$ 的奇因数之和与 $N$ 的偶因数之和的比是多少？

Let $N=34\cdot 34\cdot 63\cdot 270.$ What is the ratio of the sum of the odd divisors of $N$ to the sum of the even divisors of $N?$

$1:16$

$1:15$

$1:14$

$1:8$

$1:3$

答案：C

知识点：质因数分解因数之和

难度评级：1370

小提示：

找出整除 $N$ 的最高 $2$ 次幂

Find the exact power of $2$ dividing $N$

大提示：

若 $M$ 是 $N$ 的奇数部分， $2^k$ 是偶数部分，则每个偶因数都是某个奇因数乘以 $2^j$ 。

If $M$ is the odd part of $N$ and $2^k$ the even part, every even divisor is $2^j$ times an odd divisor

解答：

分解质因数， $34=2\cdot 17$ ， $63=3^2\cdot 7$ ，且 $270=2\cdot 3^3\cdot 5$ ，所以 $N=2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2$ 。

令 $M$ 为奇数部分 $3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2$ 。所有因数之和为 $(1+2+4+8)\,\sigma(M)$ $=15\,\sigma(M)$ 。

奇因数之和为 $\sigma(M)$ ，所以偶因数之和为 $15\,\sigma(M)-\sigma(M)=14\,\sigma(M)$ 。

所求比为 $\sigma(M):14\,\sigma(M)=1:14$ 。

所以正确答案是 C。

Factoring, $34=2\cdot 17,$ $63=3^2\cdot 7,$ and $270=2\cdot 3^3\cdot 5,$ so $N=2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$

Let $M$ be the odd part $3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$ The sum of all divisors is $(1+2+4+8)\,\sigma(M)$ $=15\,\sigma(M).$

The odd divisors sum to $\sigma(M),$ so the even divisors sum to $15\,\sigma(M)-\sigma(M)=14\,\sigma(M).$

The ratio is $\sigma(M):14\,\sigma(M)=1:14.$

Thus, the correct answer is C.

8.

三条等间距平行线与一个圆相交，形成三条长度分别为 $38$ ， $38$ ，和 $34$ 的弦。相邻两条平行线之间的距离是多少？

Three equally spaced parallel lines intersect a circle, creating three chords of lengths $38,$ $38,$ and $34.$ What is the distance between two adjacent parallel lines?

$5\tfrac{1}{2}$

$6$

$6\tfrac{1}{2}$

$7$

$7\tfrac{1}{2}$

答案：B

知识点：弦勾股定理

难度评级：1500

小提示：

等弦到圆心的距离相等，所以两条 $38$ 的弦位于高度 $\pm\tfrac{d}{2}$ 。

Equal chords are equidistant from the center, so the two $38$ chords sit at heights $\pm\tfrac{d}{2}$

大提示：

设间距为 $d$ ，使用 $r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2$ 和 $r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2$

With spacing $d,$ use $r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2$ and $r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2$

解答：

把圆心放在高度 $0$ 。两条等弦到圆心距离相等，所以三条等间距直线可放在高度 $-\tfrac{d}{2},\tfrac{d}{2},\tfrac{3d}{2}$ ，其中两条 $38$ 的弦在 $\pm\tfrac{d}{2}$ ， $34$ 的弦在 $\tfrac{3d}{2}$ 。

半弦关系给出 $r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2$ 和 $r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2$ 。

相减得 $2d^2=19^2-17^2=72$ ，所以 $d^2=36$ ， $d=6$ 。

所以正确答案是 B。

Place the center at height $0.$ Two equal chords lie at equal distances from the center, so the three equally spaced lines are at heights $-\tfrac{d}{2},\tfrac{d}{2},\tfrac{3d}{2},$ with the two $38$ -chords at $\pm\tfrac{d}{2}$ and the $34$ -chord at $\tfrac{3d}{2}.$

Half-chord relations give $r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2$ and $r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2.$

Subtracting, $2d^2=19^2-17^2=72,$ so $d^2=36$ and $d=6.$

Thus, the correct answer is B.

9.

下列表达式的值是多少？ $\dfrac{\log_2 80}{\log_{40}2}-\dfrac{\log_2 160}{\log_{20}2}$

What is the value of the following expression? $\dfrac{\log_2 80}{\log_{40}2}-\dfrac{\log_2 160}{\log_{20}2}$

$0$

$1$

$\dfrac{5}{4}$

$2$

$\log_2 5$

答案：D

知识点：对数代数变形

难度评级：1520

小提示：

$\dfrac{1}{\log_{40}2}=\log_2 40$ ，另一个倒数也类似

$\dfrac{1}{\log_{40}2}=\log_2 40,$ and similarly for the other reciprocal

大提示：

全部写成 $t=\log_2 5$ 的形式，因为 $\log_2 80=4+t$ ，等等

Write everything in terms of $t=\log_2 5,$ since $\log_2 80=4+t,$ etc.

解答：

利用 $\dfrac{1}{\log_{40}2}=\log_2 40$ 和 $\dfrac{1}{\log_{20}2}=\log_2 20$ ，原式变为 $(\log_2 80)(\log_2 40)$ $-(\log_2 160)(\log_2 20)$ 。

令 $t=\log_2 5$ ，则 $\log_2 80=4+t$ ， $\log_2 40=3+t$ ， $\log_2 160=5+t$ ， $\log_2 20=2+t$ 。

原式为 $(4+t)(3+t)$ $-(5+t)(2+t)$ $=(12+7t+t^2)$ $-(10+7t+t^2)$ $=2$ 。

所以正确答案是 D。

Using $\dfrac{1}{\log_{40}2}=\log_2 40$ and $\dfrac{1}{\log_{20}2}=\log_2 20,$ the expression becomes $(\log_2 80)(\log_2 40)$ $-(\log_2 160)(\log_2 20).$

Let $t=\log_2 5.$ Then $\log_2 80=4+t,$ $\log_2 40=3+t,$ $\log_2 160=5+t,$ $\log_2 20=2+t.$

The value is $(4+t)(3+t)$ $-(5+t)(2+t)$ $=(12+7t+t^2)$ $-(10+7t+t^2)$ $=2.$

Thus, the correct answer is D.

10.

从集合 $\{1,2,3,4,\ldots,36,37\}$ 中选出两个不同的数，使剩下 $35$ 个数的和等于这两个数的乘积。这两个数的差是多少？

Two distinct numbers are selected from the set $\{1,2,3,4,\ldots,36,37\}$ so that the sum of the remaining $35$ numbers is the product of these two numbers. What is the difference of these two numbers?

$5$

$7$

$8$

$9$

$10$

答案：E

知识点：西蒙最爱的因式分解技巧等差数列

难度评级：1530

小提示：

整个集合的和是 $703$ ；若选出的两个数是 $a$ 和 $b$ ，则 $703-a-b=ab$ 。

The full set sums to $703;$ if the two chosen numbers are $a$ and $b,$ then $703-a-b=ab$

大提示：

整理为 $(a+1)(b+1)=704$ ，然后分解因数

Rearrange to $(a+1)(b+1)=704$ and factor

解答：

总和为 $1+2+\cdots+37=703$ 。若选出的两个数为 $a$ 和 $b$ ，则 $703-a-b=ab$ 。

所以 $ab+a+b=703$ ，两边加 $1$ 得 $(a+1)(b+1)=704=2^6\cdot 11$ 。

我们需要 $a+1,b+1$ 是 $2$ 到 $38$ 之间的因数。因数对 $22\cdot 32=704$ 可行，得到 $a=21$ ， $b=31$ 。

它们的差为 $31-21=10$ 。

所以正确答案是 E。

The sum $1+2+\cdots+37=703.$ If the chosen numbers are $a$ and $b,$ then $703-a-b=ab.$

So $ab+a+b=703,$ and adding $1$ gives $(a+1)(b+1)=704=2^6\cdot 11.$

We need factors $a+1,b+1$ between $2$ and $38.$ The pair $22\cdot 32=704$ works, giving $a=21,$ $b=31.$

Their difference is $31-21=10.$

Thus, the correct answer is E.

11.

三角形 $ABC$ 中， $AB=13$ ， $BC=14$ ，且 $AC=15$ 。点 $P$ 在 $\overline{AC}$ 上，并且 $PC=10$ 。直线 $BP$ 上恰好有两个点 $D$ 和 $E$ ，使四边形 $ABCD$ 和 $ABCE$ 是梯形。距离 $DE$ 是多少？

Triangle $ABC$ has $AB=13,$ $BC=14,$ and $AC=15.$ Let $P$ be the point on $\overline{AC}$ such that $PC=10.$ There are exactly two points $D$ and $E$ on line $BP$ such that quadrilaterals $ABCD$ and $ABCE$ are trapezoids. What is the distance $DE?$

$\dfrac{42}{5}$

$6\sqrt2$

$\dfrac{84}{5}$

$12\sqrt2$

$18$

答案：D

知识点：坐标几何平行线梯形

难度评级：1690

小提示：

令 $A=(0,0)$ ， $C=(15,0)$ ；则 $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right)$ ，且 $P=(5,0)$

Place $A=(0,0),$ $C=(15,0);$ then $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right)$ and $P=(5,0)$

大提示：

一个梯形需要 $CD\parallel AB$ ，另一个需要 $AE\parallel BC$ ；找出每条平行线与直线 $BP$ 的交点

One trapezoid needs $CD\parallel AB,$ the other needs $AE\parallel BC;$ find where each parallel line meets line $BP$

解答：

令 $A=(0,0)$ ， $C=(15,0)$ 。则 $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right)$ ，且因为 $PC=10$ ， $P=(5,0)$ 。直线 $BP$ 的斜率为 $7$ ，所以其方程为 $y=7(x-5)$ 。

要使 $ABCD$ 成为梯形且 $D$ 在直线 $BP$ 上，取 $CD\parallel AB$ 。过 $C$ 作平行于 $AB$ 的直线，与 $BP$ 相交于 $(\tfrac95,-\tfrac{112}{5})$ 。

对 $ABCE$ ，其中 $E$ 在直线 $BP$ 上，取 $AE\parallel BC$ 。过 $A$ 作平行于 $BC$ 的直线，与 $BP$ 相交于 $(\tfrac{21}{5},-\tfrac{28}{5})$ 。

两点横坐标之差为 $\tfrac{12}{5}$ ，纵坐标之差为 $\tfrac{84}{5}$ ，所以 $DE=\tfrac15\sqrt{12^2+84^2}=12\sqrt2$ 。

所以正确答案是 D。

Place $A=(0,0)$ and $C=(15,0).$ Then $B=\left(\tfrac{33}{5},\tfrac{56}{5}\right),$ and since $PC=10,$ $P=(5,0).$ Line $BP$ has slope $7,$ so it is $y=7(x-5).$

For $ABCD$ to be a trapezoid with $D$ on line $BP,$ take $CD\parallel AB.$ The line through $C$ parallel to $AB$ meets line $BP$ at $(\tfrac95,-\tfrac{112}{5}).$

For $ABCE$ with $E$ on line $BP,$ take $AE\parallel BC.$ The line through $A$ parallel to $BC$ meets line $BP$ at $(\tfrac{21}{5},-\tfrac{28}{5}).$

Their coordinate differences are $\tfrac{12}{5}$ and $\tfrac{84}{5},$ so $DE=\tfrac15\sqrt{12^2+84^2}=12\sqrt2.$

Thus, the correct answer is D.

12.

假设 $S$ 是一个由正整数组成的有限集合。如果将 $S$ 中的最大整数从 $S$ 中移除，则剩余整数的平均值（算术平均数）为 $32$ 。如果再移除 $S$ 中的最小整数，则剩余整数的平均值为 $35$ 。如果随后把最大整数放回集合，整数的平均值升至 $40$ 。原集合 $S$ 中最大整数比 $S$ 中最小整数大 $72$ 。集合 $S$ 中所有整数的平均值是多少？

Suppose that $S$ is a finite set of positive integers. If the greatest integer in $S$ is removed from $S,$ then the average value (arithmetic mean) of the integers remaining is $32.$ If the least integer in $S$ is also removed, then the average value of the integers remaining is $35.$ If the greatest integer is then returned to the set, the average value of the integers rises to $40.$ The greatest integer in the original set $S$ is $72$ greater than the least integer in $S.$ What is the average value of all the integers in the set $S?$

$36.2$

$36.4$

$36.6$

$36.8$

$37$

答案：D

知识点：平均数方程组

难度评级：1630

小提示：

令 $n=|S|$ ，总和为 $T$ ，最大数为 $M$ ，最小数为 $L$ ；把每个平均值条件写成方程

Let $n=|S|,$ total $T,$ greatest $M,$ least $L;$ write each average as an equation

大提示：

用 $\dfrac{T-L}{n-1}=40$ 减去 $\dfrac{T-M}{n-1}=32$ 得到 $M-L=8(n-1)$

Subtracting $\dfrac{T-M}{n-1}=32$ from $\dfrac{T-L}{n-1}=40$ gives $M-L=8(n-1)$

解答：

令 $n=|S|$ ， $T$ 为总和， $M$ 为最大数， $L$ 为最小数。则 $\dfrac{T-M}{n-1}=32$ ， $\dfrac{T-M-L}{n-2}=35$ ，且 $\dfrac{T-L}{n-1}=40$ 。

用第三个方程减第一个方程： $\dfrac{M-L}{n-1}=8$ 。因为 $M-L=72$ ，得 $n-1=9$ ，所以 $n=10$ 。

于是 $T-M=288$ ，且 $T-L=360$ 。中间的方程给出 $T-M-L=35\cdot 8=280$ ，所以 $L=288-280=8$ ， $M=80$ 。

因此 $T=288+80=368$ ，平均值为 $\dfrac{368}{10}=36.8$ 。

所以正确答案是 D。

Let $n=|S|,$ let $T$ be the total, $M$ the greatest, and $L$ the least. Then $\dfrac{T-M}{n-1}=32,$ $\dfrac{T-M-L}{n-2}=35,$ and $\dfrac{T-L}{n-1}=40.$

Subtracting the first from the third: $\dfrac{M-L}{n-1}=8.$ Since $M-L=72,$ we get $n-1=9,$ so $n=10.$

Then $T-M=288$ and $T-L=360.$ The middle equation gives $T-M-L=35\cdot 8=280,$ so $L=288-280=8$ and $M=80.$

Thus $T=288+80=368,$ and the average is $\dfrac{368}{10}=36.8.$

Thus, the correct answer is D.

13.

区间 $0\lt\theta\le 2\pi$ 中有多少个 $\theta$ 的值满足下面的方程？ $1-3\sin\theta+5\cos 3\theta=0$

How many values of $\theta$ in the interval $0\lt\theta\le 2\pi$ satisfy the following equation? $1-3\sin\theta+5\cos 3\theta=0$

$2$

$4$

$5$

$6$

$8$

答案：D

知识点：三角学系统列举

难度评级：1850

小提示：

项 $5\cos 3\theta$ 在 $-5$ 和 $5$ 之间摆动，主导了变化较慢的 $1-3\sin\theta$

The term $5\cos 3\theta$ swings between $-5$ and $5,$ dominating the slowly varying $1-3\sin\theta$

大提示：

在 $60^\circ$ 的各个倍数处检查 $f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta$ ，再用 $f'$ 排除多余的根

Check $f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta$ at multiples of $60^\circ,$ then use $f'$ to rule out extra roots

解答：

令 $f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta$ 。在 $\theta=0,\tfrac\pi3,\tfrac{2\pi}3,\ldots,2\pi$ 处，其符号依次为 $+,-,+,-,+,-,+$ 。因此，相邻两点之间的六个区间各至少有一个根。

在任意根处， $5\cos3\theta=3\sin\theta-1$ 。于是 $\begin{aligned} &25\sin^2 3\theta-\cos^2\theta \\ &\quad =23+6\sin\theta-8\sin^2\theta>0 \end{aligned}\text{。}$ 所以 $15|\sin3\theta|>3|\cos\theta|$ 。在区间 $(\tfrac{k\pi}{3},\tfrac{(k+1)\pi}{3})$ 中，每个根处的 $f'(\theta)=-3\cos\theta-15\sin3\theta$ 的符号都是 $(-1)^{k+1}$ 。

因此，同一区间内的每个根都以相同方向穿过横轴。若有两个这样的根，它们之间必有一个反方向的穿越，产生矛盾。所以每个区间恰有一个根，共有 $6$ 个解。

所以正确答案是 D。

Let $f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta.$ At $\theta=0,\tfrac\pi3,\tfrac{2\pi}3,\ldots,2\pi,$ its signs alternate $+,-,+,-,+,-,+.$ Therefore there is at least one root in each of the six intervening intervals.

At any root, $5\cos3\theta=3\sin\theta-1.$ Consequently $\begin{aligned} &25\sin^2 3\theta-\cos^2\theta \\ &\quad =23+6\sin\theta-8\sin^2\theta>0. \end{aligned}$ Hence $15|\sin3\theta|>3|\cos\theta|.$ In the interval $(\tfrac{k\pi}{3},\tfrac{(k+1)\pi}{3}),$ the sign of $f'(\theta)=-3\cos\theta-15\sin3\theta$ is therefore $(-1)^{k+1}$ at every root.

Thus every root in a given interval crosses the axis in the same direction. Two such roots would require an intervening crossing in the opposite direction, so each interval has exactly one root. There are $6$ solutions in all.

Thus, the correct answer is D.

14.

设 $ABCD$ 是一个矩形，且线段 $\overline{DM}$ 垂直于 $ABCD$ 所在平面。假设 $\overline{DM}$ 的长度是整数，并且 $\overline{MA}$ ， $\overline{MC}$ 和 $\overline{MB}$ 的长度按此顺序是连续的正奇数。棱锥 $MABCD$ 的体积是多少？

Let $ABCD$ be a rectangle and let $\overline{DM}$ be a segment perpendicular to the plane of $ABCD.$ Suppose that $\overline{DM}$ has integer length, and the lengths of $\overline{MA},$ $\overline{MC},$ and $\overline{MB}$ are consecutive odd positive integers (in this order). What is the volume of pyramid $MABCD?$

$24\sqrt5$

$60$

$28\sqrt5$

$66$

$8\sqrt{70}$

答案：A

知识点：立体几何勾股定理棱锥

难度评级：1790

小提示：

把 $D$ 放在原点，则 $MA^2=AD^2+DM^2$ ， $MC^2=CD^2+DM^2$ ， $MB^2=AD^2+CD^2+DM^2$ 。

With $D$ at the origin, $MA^2=AD^2+DM^2,$ $MC^2=CD^2+DM^2,$ $MB^2=AD^2+CD^2+DM^2$

大提示：

所以 $MB^2=MA^2+MC^2-DM^2$ ；令 $MA,MC,MB=k,k+2,k+4$ ，解出 $k$ 和 $DM$ 。

So $MB^2=MA^2+MC^2-DM^2;$ with $MA,MC,MB=k,k+2,k+4,$ solve for $k$ and $DM$

解答：

把 $D$ 放在原点，令 $A$ ， $C$ 沿矩形的两条边，且 $M$ 正好在 $D$ 的上方。则 $MA^2=AD^2+DM^2$ ， $MC^2=CD^2+DM^2$ ，且 $MB^2=AD^2+CD^2+DM^2$ 。

因此 $MB^2=MA^2+MC^2-DM^2$ 。写成 $MA,MC,MB=k,k+2,k+4$ ，得 $DM^2=k^2+(k+2)^2$ $-(k+4)^2$ $=k^2-4k-12$ 。

若 $DM=t$ 是正整数，则 $(k-2)^2-t^2=16$ ，所以 $(k-2-t)(k-2+t)=16$ 。能使 $t>0$ 的同奇偶正因数对只有 $(2,8)$ ，由此得到 $k=7$ 和 $t=3$ 。于是 $AD^2=49-9=40$ ，且 $CD^2=81-9=72$ 。

底面积为 $AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72}$ $=\sqrt{2880}=24\sqrt5$ ，体积为 $\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5$ 。

所以正确答案是 A。

Place $D$ at the origin with $A,$ $C$ along the rectangle’s edges and $M$ directly above $D.$ Then $MA^2=AD^2+DM^2,$ $MC^2=CD^2+DM^2,$ and $MB^2=AD^2+CD^2+DM^2.$

Thus $MB^2=MA^2+MC^2-DM^2.$ Writing $MA,MC,MB=k,k+2,k+4,$ we get $DM^2=k^2+(k+2)^2$ $-(k+4)^2$ $=k^2-4k-12.$

If $DM=t$ is a positive integer, then $(k-2)^2-t^2=16,$ so $(k-2-t)(k-2+t)=16.$ The only positive same-parity factor pair giving $t>0$ is $(2,8),$ which yields $k=7$ and $t=3.$ Thus $AD^2=49-9=40$ and $CD^2=81-9=72.$

The base area is $AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72}$ $=\sqrt{2880}=24\sqrt5,$ and the volume is $\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5.$

Thus, the correct answer is A.

15.

图形由 $11$ 条线段构成，每条线段长度都是 $2$ 。五边形 $ABCDE$ 的面积可写成 $\sqrt m+\sqrt n$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数。 $m+n$ 是多少？

The figure is constructed from $11$ line segments, each of which has length $2.$ The area of pentagon $ABCDE$ can be written as $\sqrt m+\sqrt n,$ where $m$ and $n$ are positive integers. What is $m+n?$

$20$

$21$

$22$

$23$

$24$

答案：D

知识点：circle geometry 坐标几何鞋带公式

难度评级：1890

小提示：

每个内部点到连续三个外部顶点的距离都是 $2$ ，所以它是这三个顶点的外接圆圆心

Each interior point is distance $2$ from three consecutive outer vertices, so it is their circumcenter

大提示：

弦 $AB$ 和 $BC$ 的长度等于半径 $2$ ，所以 $AC=2\sqrt3$ ；然后使用对称坐标

Since chords $AB$ and $BC$ have length equal to the radius $2,$ $AC=2\sqrt3;$ then use symmetric coordinates

解答：

右侧内部点到 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的距离都是 $2$ ，所以这三点位于一个半径为 $2$ 的圆上。弦 $AB$ 和 $BC$ 的长度也都是 $2$ ，所以它们各自在圆心处所对的角为 $60^\circ$ 。因此 $AC=2\sqrt3$ 。另一半同样是它的镜像。

取 $C=(-1,0)$ ， $D=(1,0)$ ，和 $A=(0,\sqrt{11})$ ；则 $AC=AD=2\sqrt3$ 。以 $A$ 和 $C$ 为圆心的两个半径为 $2$ 的圆的另一个交点是 $B=\left(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt{11}}{2\sqrt3}, \tfrac{\sqrt{11}}2+\tfrac{1}{2\sqrt3}\right)\text{，}$ 而 $E$ 是它关于 $y$ 轴的反射。

对 $A,B,C,D,E$ 使用鞋带公式，得到 $[ABCDE]=\sqrt{11}+2\sqrt3$ ，等于 $\sqrt{11}+\sqrt{12}$ 。

所以 $m+n=11+12=23$ 。

因此，正确答案是 D。

The right interior point is distance $2$ from $A,$ $B,$ and $C,$ so these three points lie on a circle of radius $2.$ Chords $AB$ and $BC$ also have length $2,$ so each subtends $60^\circ$ at the center. Thus $AC=2\sqrt3.$ Similarly, the other half is its mirror image.

Put $C=(-1,0),$ $D=(1,0),$ and $A=(0,\sqrt{11});$ then $AC=AD=2\sqrt3.$ The other intersection of the radius- $2$ circles centered at $A$ and $C$ is $B=\left(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt{11}}{2\sqrt3}, \tfrac{\sqrt{11}}2+\tfrac{1}{2\sqrt3}\right),$ and $E$ is its reflection across the $y$ -axis.

Applying the shoelace formula to $A,B,C,D,E$ gives $[ABCDE]=\sqrt{11}+2\sqrt3,$ which equals $\sqrt{11}+\sqrt{12}.$

So $m+n=11+12=23.$

Thus, the correct answer is D.

16.

设 $g(x)$ 是首项系数为 $1$ 的多项式，它的三个根是 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ 的三个根的倒数，其中 $1\lt a\lt b\lt c$ 。用 $a$ ， $b$ 和 $c$ 表示 $g(1)$ 是什么？

Let $g(x)$ be a polynomial with leading coefficient $1,$ whose three roots are the reciprocals of the three roots of $f(x)=x^3+ax^2+bx+c,$ where $1\lt a\lt b\lt c.$ What is $g(1)$ in terms of $a,$ $b,$ and $c?$

$\dfrac{1+a+b+c}{c}$

$1+a+b+c$

$\dfrac{1+a+b+c}{c^2}$

$\dfrac{a+b+c}{c^2}$

$\dfrac{1+a+b+c}{a+b+c}$

答案：A

知识点：韦达定理多项式

难度评级：1720

小提示：

若 $f$ 的根为 $r,s,t$ ，则 $g(1)=\left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right)\left(1-\tfrac1t\right)$

If $f$ has roots $r,s,t,$ then $g(1)=\left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right)\left(1-\tfrac1t\right)$

大提示：

这等于 $\dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst}$ ；把分子与 $f(1)$ 联系起来，把分母与 $c$ 联系起来

This equals $\dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst};$ relate the numerator to $f(1)$ and the denominator to $c$

解答：

设 $f$ 的根为 $r,s,t$ 。因为 $g$ 是首项系数为一、根为 $\tfrac1r,\tfrac1s,\tfrac1t$ 的多项式， $\begin{aligned} g(1) &= \left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1-\tfrac1t\right) \\ &= \dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst} \end{aligned}\text{。}$

现在 $f(1)=(1-r)(1-s)(1-t)$ $=1+a+b+c$ ，所以 $(r-1)(s-1)(t-1)$ $=-(1+a+b+c)$ 。另外 $rst=-c$ 。

因此 $g(1)$ $=\dfrac{-(1+a+b+c)}{-c}$ $=\dfrac{1+a+b+c}{c}$ 。

所以正确答案是 A。

Let $f$ have roots $r,s,t.$ Since $g$ is monic with roots $\tfrac1r,\tfrac1s,\tfrac1t,$ $\begin{aligned} g(1) &= \left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1-\tfrac1t\right) \\ &= \dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst}. \end{aligned}$

Now $f(1)=(1-r)(1-s)(1-t)$ $=1+a+b+c,$ so $(r-1)(s-1)(t-1)$ $=-(1+a+b+c).$ Also $rst=-c.$

Therefore $g(1)$ $=\dfrac{-(1+a+b+c)}{-c}$ $=\dfrac{1+a+b+c}{c}.$

Thus, the correct answer is A.

17.

设 $ABCD$ 是等腰梯形，平行底边为 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ ，且 $AB\gt CD$ 。从 $ABCD$ 内一点连到各顶点，把梯形分成四个三角形，它们的面积从以 $\overline{CD}$ 为底的三角形开始并按顺时针方向如图所示分别为 $2$ ， $3$ ， $4$ ，和 $5$ 。比值 $\dfrac{AB}{CD}$ 是多少？

Let $ABCD$ be an isosceles trapezoid having parallel bases $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ with $AB\gt CD.$ Line segments from a point inside $ABCD$ to the vertices divide the trapezoid into four triangles whose areas are $2,$ $3,$ $4,$ and $5$ starting with the triangle with base $\overline{CD}$ and moving clockwise as shown in the diagram below. What is the ratio $\dfrac{AB}{CD}?$

$3$

$2+\sqrt2$

$1+\sqrt6$

$2\sqrt3$

$3\sqrt2$

答案：B

知识点：梯形面积比二次方程

难度评级：2010

小提示：

以底边为底的两个三角形面积为 $4$ （底边 $AB$ ）和 $2$ （底边 $CD$ ）；写成 $\tfrac12 a h_a$ 与 $\tfrac12 b h_b$ 。

The triangles on the bases have areas $4$ (base $AB$ ) and $2$ (base $CD$ ); write them as $\tfrac12 a h_a$ and $\tfrac12 b h_b$

大提示：

已知 $a h_a=8$ ， $b h_b=4$ ，且 $(a+b)(h_a+h_b)=28$ ，交叉项 $a h_b$ 和 $b h_a$ 满足一个二次方程

With $a h_a=8,$ $b h_b=4,$ and $(a+b)(h_a+h_b)=28,$ the cross terms $a h_b$ and $b h_a$ satisfy a quadratic

解答：

令 $AB=a$ 、 $CD=b$ ，并设内点到 $AB$ 和 $CD$ 的高度分别为 $h_a$ 与 $h_b$ 。底边三角形给出 $\tfrac12 a h_a=4$ 和 $\tfrac12 b h_b=2$ ，所以 $a h_a=8$ ， $b h_b=4$ 。

总面积为 $2+3+4+5=14$ $=\tfrac12(a+b)(h_a+h_b)$ ，所以 $(a+b)(h_a+h_b)=28$ 。展开得 $a h_a+b h_b+a h_b+b h_a=28$ ，因此 $a h_b+b h_a=16$ 。

令 $u=a h_b$ ， $v=b h_a$ ，则 $u+v=16$ ，且 $uv=(a h_a)(b h_b)=32$ ，所以 $u,v=8\pm 4\sqrt2$ 。

最后 $\dfrac{AB}{CD}$ $=\dfrac{a}{b}$ $=\dfrac{a h_b}{b h_b}$ $=\dfrac{u}{4}$ $=\dfrac{8+4\sqrt2}{4}$ $=2+\sqrt2$ 。

所以正确答案是 B。

Let $AB=a,$ $CD=b,$ and let the interior point be at heights $h_a$ from $AB$ and $h_b$ from $CD.$ The base triangles give $\tfrac12 a h_a=4$ and $\tfrac12 b h_b=2,$ so $a h_a=8$ and $b h_b=4.$

The total area is $2+3+4+5=14$ $=\tfrac12(a+b)(h_a+h_b),$ so $(a+b)(h_a+h_b)=28.$ Expanding, $a h_a+b h_b+a h_b+b h_a=28,$ giving $a h_b+b h_a=16.$

Let $u=a h_b$ and $v=b h_a.$ Then $u+v=16$ and $uv=(a h_a)(b h_b)=32,$ so $u,v=8\pm 4\sqrt2.$

Finally $\dfrac{AB}{CD}$ $=\dfrac{a}{b}$ $=\dfrac{a h_b}{b h_b}$ $=\dfrac{u}{4}$ $=\dfrac{8+4\sqrt2}{4}$ $=2+\sqrt2.$

Thus, the correct answer is B.

18.

设 $z$ 是满足 $12|z|^2$ $=2|z+2|^2+|z^2+1|^2+31$ 的复数。 $z+\dfrac{6}{z}$ 的值是多少？

Let $z$ be a complex number satisfying $12|z|^2$ $=2|z+2|^2+|z^2+1|^2+31.$ What is the value of $z+\dfrac{6}{z}?$

$-2$

$-1$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$4$

答案：A

知识点：复数配方法

难度评级：1940

小提示：

令 $p=|z|^2$ ， $s=z+\bar z$ ；用 $|w|^2=w\bar w$ 展开每个模长平方

Let $p=|z|^2$ and $s=z+\bar z;$ expand every modulus using $|w|^2=w\bar w$

大提示：

方程会化简为 $(p-6)^2+(s+2)^2=0$

The equation collapses to $(p-6)^2+(s+2)^2=0$

解答：

令 $p=|z|^2=z\bar z$ ， $s=z+\bar z$ 。则 $|z+2|^2=p+2s+4$ ，且 $|z^2+1|^2$ $=p^2+(z^2+\bar z^2)+1$ $=p^2+(s^2-2p)+1$ 。

代入得 $12p=2(p+2s+4)$ $+p^2+s^2-2p+1+31$ ，化简为 $p^2-12p+s^2+4s+40=0$ 。

配方得 $(p-6)^2+(s+2)^2=0$ ，所以 $p=6$ ， $s=-2$ 。

于是 $z+\dfrac{6}{z}=z+\dfrac{6\bar z}{|z|^2}=z+\bar z=-2$ 。

所以正确答案是 A。

Let $p=|z|^2=z\bar z$ and $s=z+\bar z.$ Then $|z+2|^2=p+2s+4,$ and $|z^2+1|^2$ $=p^2+(z^2+\bar z^2)+1$ $=p^2+(s^2-2p)+1.$

Substituting, $12p=2(p+2s+4)$ $+p^2+s^2-2p+1+31,$ which simplifies to $p^2-12p+s^2+4s+40=0.$

Completing the square gives $(p-6)^2+(s+2)^2=0,$ so $p=6$ and $s=-2.$

Then $z+\dfrac{6}{z}=z+\dfrac{6\bar z}{|z|^2}=z+\bar z=-2.$

Thus, the correct answer is A.

19.

掷两个公平骰子，每个骰子至少有 $6$ 个面。每个骰子的各面分别标着从 $1$ 到该骰子面数的不同整数。掷出和为 $7$ 的概率是掷出和为 $10$ 的概率的 $\dfrac34$ ，且掷出和为 $12$ 的概率是 $\dfrac{1}{12}$ 。两个骰子的面数总和最小可能是多少？

Two fair dice, each with at least $6$ faces are rolled. On each face of each die is printed a distinct integer from $1$ to the number of faces on that die, inclusive. The probability of rolling a sum of $7$ is $\dfrac34$ of the probability of rolling a sum of $10,$ and the probability of rolling a sum of $12$ is $\dfrac{1}{12}.$ What is the least possible number of faces on the two dice combined?

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

答案：B

知识点：骰子（概率）最优化

难度评级：2120

小提示：

因为每个骰子至少有 $6$ 个面，和为 $7$ 总有 $6$ 种方式，所以和为 $10$ 有 $8$ 种方式

With at least $6$ faces each, a sum of $7$ always has $6$ ways, so a sum of $10$ has $8$ ways

大提示：

设两个骰子分别有 $a\le b$ 个面；数和为 $10$ 与 $12$ 的结果数，并使用 $\text{方法数}(12)=\tfrac{ab}{12}$

Let the dice have $a\le b$ faces; count outcomes for sums $10$ and $12$ and use $\text{ways}(12)=\tfrac{ab}{12}$

解答：

设两个骰子的面数为 $a\le b$ 。因为两个骰子都至少有 $6$ 个面，和为 $7$ 恰有 $6$ 种方式，所以和为 $10$ 有 $6\div\tfrac34=8$ 种方式。

掷出 $10$ 的方式数为 $\min(a,9)$ $-\max(1,10-b)+1=8$ 。和为 $12$ 的概率为 $\tfrac{1}{12}$ ，所以它有 $\tfrac{ab}{12}$ 种方式。

和为 $10$ 有 $8$ 种结果，要求 $a\ge8$ 且 $b\ge9$ ，所以必有 $a+b\ge17$ 。当 $(a,b)=(8,9)$ 时，和为 $10$ 恰有 $8$ 种结果，而和为 $12$ 恰有第一枚骰子掷出 $3,4,\ldots,8$ 时的 $6$ 种结果。因为 $\frac{6}{8\cdot9}=\frac{1}{12}$ ，两个条件都成立，从而下界 $17$ 可以达到。

所以正确答案是 B。

Let the dice have $a\le b$ faces. Since both have at least $6$ faces, a sum of $7$ occurs in exactly $6$ ways, so a sum of $10$ occurs in $6\div\tfrac34=8$ ways.

The number of ways to roll $10$ is $\min(a,9)$ $-\max(1,10-b)+1=8.$ A sum of $12$ has probability $\tfrac{1}{12},$ so it occurs in $\tfrac{ab}{12}$ ways.

Having $8$ outcomes for a sum of $10$ requires $a\ge8$ and $b\ge9,$ so necessarily $a+b\ge17.$ For $(a,b)=(8,9),$ a sum of $10$ has $8$ outcomes, while a sum of $12$ has the $6$ outcomes with the first die showing $3,4,\ldots,8.$ Since $\frac{6}{8\cdot9}=\frac{1}{12},$ both conditions hold and the lower bound $17$ is attained.

Thus, the correct answer is B.

20.

设 $Q(z)$ 和 $R(z)$ 是唯一满足 $\begin{aligned} &z^{2021}+1 \\ &\quad = (z^2+z+1)Q(z)+R(z) \end{aligned}$ 且 $R$ 的次数小于 $2$ 的多项式。 $R(z)$ 是什么？

Let $Q(z)$ and $R(z)$ be the unique polynomials such that $\begin{aligned} &z^{2021}+1 \\ &\quad = (z^2+z+1)Q(z)+R(z) \end{aligned}$ and the degree of $R$ is less than $2.$ What is $R(z)?$

$-z$

$-1$

$2021$

$z+1$

$2z+1$

答案：A

知识点：多项式单位根模运算

难度评级：1990

小提示：

模 $z^2+z+1$ 时有 $z^3\equiv 1$ ，因为 $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$

Modulo $z^2+z+1$ we have $z^3\equiv 1,$ since $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$

大提示：

先把指数 $2021$ 对 $3$ 取余，再用 $z^2\equiv -z-1$ 化简 $z^2$

Reduce the exponent $2021$ modulo $3,$ then reduce $z^2$ using $z^2\equiv -z-1$

解答：

因为 $z^3\equiv 1\pmod{z^2+z+1}$ 且 $2021=3\cdot 673+2$ ，所以 $z^{2021}\equiv z^2$ 。

因此 $z^{2021}+1\equiv z^2+1$ 。再用 $z^2\equiv -z-1$ ，化简，得到 $-z-1+1=-z$ 。

所以 $R(z)=-z$ 。

所以正确答案是 A。

Since $z^3\equiv 1\pmod{z^2+z+1}$ and $2021=3\cdot 673+2,$ we have $z^{2021}\equiv z^2.$

So $z^{2021}+1\equiv z^2+1.$ Reducing further with $z^2\equiv -z-1,$ this is $-z-1+1=-z.$

Therefore $R(z)=-z.$

Thus, the correct answer is A.

21.

设 $S$ 是所有满足下式的正实数 $x$ 的和： $x^{2^{\sqrt2}}=\sqrt2^{\,2^x}\text{。}$

下列哪一项为真？

Let $S$ be the sum of all positive real numbers $x$ for which $x^{2^{\sqrt2}}=\sqrt2^{\,2^x}.$

Which of the following statements is true?

$S\lt\sqrt2$

$S=\sqrt2$

$\sqrt2\lt S\lt 2$

$2\le S\lt 6$

$S\ge 6$

答案：D

知识点：对数极限情形界定

难度评级：2260

小提示：

两边取 $\log_2$ 得到 $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}$ 。

Take $\log_2$ of both sides to get $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}$

大提示：

$x=\sqrt2$ 是一个解；分析 $2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x$ 的符号来定位另一个解

$x=\sqrt2$ is one solution; analyze the sign of $2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x$ to locate the other

解答：

两边取 $\log_2$ ，方程变为 $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}$ 。代入 $x=\sqrt2$ 得 $2^{\sqrt2}\cdot\tfrac12=2^{\sqrt2-1}$ 成立，所以 $x=\sqrt2$ 是一个解。

令 $f(x)=2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x$ 。则 $f(1)\gt 0$ 、 $f(\sqrt2)=0$ 、 $f(2)\lt 0$ ，且 $f(4)\gt 0$ ，所以在 $2$ 与 $4$ 之间有第二个根 $x_0$ 。

为证明没有其他解，将方程除以 $2^x$ ，并在 $x\gt1$ 时考察 $h(x)=\frac{\ln x}{2^x}$ 。它的导数符号与 $\frac{1}{x}-(\ln2)(\ln x)$ 相同，而后者严格递减。因此， $h$ 先增后减一次，任意水平线与其图像至多相交两次。前面找到的两个根就是全部解。因为 $2\lt x_0\lt4$ ，所以 $2\lt S=\sqrt2+x_0\lt6$ 。

所以正确答案是 D。

Taking $\log_2,$ the equation becomes $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}.$ Substituting $x=\sqrt2$ gives $2^{\sqrt2}\cdot\tfrac12=2^{\sqrt2-1},$ which holds, so $x=\sqrt2$ is a solution.

Let $f(x)=2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x.$ Then $f(1)\gt 0,$ $f(\sqrt2)=0,$ $f(2)\lt 0,$ and $f(4)\gt 0,$ so there is a second root $x_0$ between $2$ and $4.$

To prove there are no others, divide the equation by $2^x$ and consider $h(x)=\frac{\ln x}{2^x}$ for $x\gt1.$ Its derivative has the sign of $\frac{1}{x}-(\ln2)(\ln x),$ a strictly decreasing expression. Thus $h$ increases once and then decreases, so a horizontal line meets its graph at most twice. The two roots already found are all the solutions. Since $2\lt x_0\lt4,$ we have $2\lt S=\sqrt2+x_0\lt6.$

Thus, the correct answer is D.

22.

Arjun 和 Beth 玩一个游戏：他们轮流从若干堵砖墙中的一堵移走一块砖，或移走两块相邻的砖；移走后产生的空隙可能形成新的砖墙。每堵砖墙都只有一块砖高。例如，大小为 $4$ 和 $2$ 的一组砖墙可以通过一步变成以下任意一种： $(3,2)$ 、 $\ (2,1,2)$ 、 $\ (4)$ 、 $\ (4,1)$ 、 $\ (2,2)$ 或 $(1,1,2)$ 。

Arjun 先手，移走最后一块砖的玩家获胜。对于哪一个初始配置，Beth 有必胜策略？

Arjun and Beth play a game in which they take turns removing one brick or two adjacent bricks from one “wall” among a set of several walls of bricks, with gaps possibly creating new walls. The walls are one brick tall. For example, a set of walls of sizes $4$ and $2$ can be changed into any of the following by one move: $(3,2),$ $\ (2,1,2),$ $\ (4),$ $\ (4,1),$ $\ (2,2),$ or $(1,1,2).$

Arjun plays first, and the player who removes the last brick wins. For which starting configuration is there a strategy that guarantees a win for Beth?

$(6,1,1)$

$(6,2,1)$

$(6,2,2)$

$(6,3,1)$

$(6,3,2)$

答案：B

知识点：组合游戏不变量

难度评级：2390

小提示：

计算长度为 $n$ 的单堵砖墙的 Grundy 值，其中一步可以移走 $1$ 块或 $2$ 块相邻砖，并可能把砖墙分裂

Compute the Grundy value of a single wall of length $n,$ where a move removes $1$ or $2$ adjacent bricks and may split the wall

大提示：

Beth（后手）获胜当且仅当各堵砖墙 Grundy 值的异或为 $0$ 。

Beth (the second player) wins exactly when the XOR of the walls’ Grundy values is $0$

解答：

把每堵砖墙看作一个类似 Nim 的堆，并赋予 Grundy 值。一步移走 $1$ 块或 $2$ 块相邻砖，可能把一堵墙分成长度为 $a,b$ 的两堵。因此， $g(n)$ 是所有满足 $a+b=n-1$ 或 $a+b=n-2$ 的 $g(a)\oplus g(b)$ 的最小未出现非负整数。

从 $g(0)=0$ 开始，这个递推给出 $g(1),g(2),\ldots,g(6)$ 依次为 $1,2,3,1,4,3$ 。

后手 Beth 获胜当且仅当各墙 Grundy 值的异或为 $0$ 。检查每个选项，只有 $(6,2,1)$ 给出 $g(6)\oplus g(2)\oplus g(1)$ $=3\oplus 2\oplus 1=0$ 。

所以正确答案是 B。

Treat each wall as a Nim-like heap with a Grundy value. A move removes $1$ or $2$ adjacent bricks, possibly splitting a wall into lengths $a,b.$ Thus $g(n)$ is the mex of $g(a)\oplus g(b)$ over $a+b=n-1$ or $a+b=n-2.$

Starting with $g(0)=0,$ this recurrence gives $g(1),g(2),\ldots,g(6)$ equal to $1,2,3,1,4,3,$ respectively.

The second player Beth wins exactly when the XOR of the walls’ Grundy values is $0.$ Checking each option, only $(6,2,1)$ gives $g(6)\oplus g(2)\oplus g(1)$ $=3\oplus 2\oplus 1=0.$

Thus, the correct answer is B.

23.

三个球被随机且相互独立地投入编号为正整数的箱子中。对每个球，它被投入箱子 $i$ 的概率为 $2^{-i}$ ，其中 $i=1$ ， $2$ ， $3$ ， $\ldots$ 。每个箱子可以有多个球。三个球最终落在不同且等间距的箱子中的概率为 $\dfrac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数。（例如，若球被投入箱子 $3$ 、 $17$ 和 $10$ ，则这些箱子是等间距的。） $p+q$ 是多少？

Three balls are randomly and independently tossed into bins numbered with the positive integers so that for each ball, the probability that it is tossed into bin $i$ is $2^{-i}$ for $i=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ More than one ball is allowed in each bin. The probability that the balls end up evenly spaced in distinct bins is $\dfrac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. (For example, the balls are evenly spaced if they are tossed into bins $3,$ $17,$ and $10.$ ) What is $p+q?$

$55$

$56$

$57$

$58$

$59$

答案：A

知识点：基本概率等比数列等差数列

难度评级：2390

小提示：

等间距表示箱子编号为 $n, n+d, n+2d$ ，其中 $n,d\ge 1$ ；它们的编号和为 $3(n+d)$

Evenly spaced means the bins are $n, n+d, n+2d$ for some $n,d\ge 1;$ their labels sum to $3(n+d)$

大提示：

每种这样的有序投放概率为 $2^{-3(n+d)}$ ，三个球有 $3!$ 种排列方式

Each such ordered assignment has probability $2^{-3(n+d)},$ and there are $3!$ orderings of the three balls

解答：

不同且等间距的箱子形成等差数列 $n,n+d,n+2d$ ，其中 $n,d\ge 1$ 。三个编号之和为 $3(n+d)$ ，因此把球固定分配到这三个箱子的概率为 $2^{-3(n+d)}$ 。

三个球可以按 $3!=6$ 种方式对应到这些箱子，所以总概率为 $6\sum_{n\ge 1}\sum_{d\ge 1}2^{-3(n+d)}$ $=6\left(\sum_{n\ge 1}\tfrac{1}{8^n}\right)^2$ $=6\cdot\tfrac17\cdot\tfrac17=\tfrac{6}{49}$ 。

因为 $\gcd(6,49)=1$ ，得 $p+q=6+49=55$ 。

所以正确答案是 A。

Evenly spaced distinct bins form an arithmetic progression $n,n+d,n+2d$ with $n,d\ge 1.$ The three labels sum to $3(n+d),$ so a fixed assignment of balls to these bins has probability $2^{-3(n+d)}.$

The three balls can be ordered in $3!=6$ ways, so the total probability is $6\sum_{n\ge 1}\sum_{d\ge 1}2^{-3(n+d)}$ $=6\left(\sum_{n\ge 1}\tfrac{1}{8^n}\right)^2$ $=6\cdot\tfrac17\cdot\tfrac17=\tfrac{6}{49}.$

Since $\gcd(6,49)=1,$ we get $p+q=6+49=55.$

Thus, the correct answer is A.

24.

设 $ABCD$ 是面积为 $15$ 的平行四边形。点 $P$ 和 $Q$ 分别是 $A$ 和 $C$ 在直线 $BD$ 上的投影；点 $R$ 和 $S$ 分别是 $B$ 和 $D$ 在直线 $AC$ 上的投影。见图，图中也显示了这些点的相对位置。

假设 $PQ=6$ ， $RS=8$ ，并令 $d$ 表示 $\overline{BD}$ 的长度，即 $ABCD$ 的较长对角线。则 $d^2$ 可写成 $m+n\sqrt p$ 的形式，其中 $m$ ， $n$ ，和 $p$ 是正整数，且 $p$ 不被任何质数的平方整除。 $m+n+p$ 是多少？

Let $ABCD$ be a parallelogram with area $15.$ Points $P$ and $Q$ are the projections of $A$ and $C,$ respectively, onto the line $BD;$ and points $R$ and $S$ are the projections of $B$ and $D,$ respectively, onto the line $AC.$ See the figure, which also shows the relative locations of these points.

Suppose $PQ=6$ and $RS=8,$ and let $d$ denote the length of $\overline{BD},$ the longer diagonal of $ABCD.$ Then $d^2$ can be written in the form $m+n\sqrt p,$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers and $p$ is not divisible by the square of any prime. What is $m+n+p?$

$81$

$89$

$97$

$105$

$113$

答案：A

知识点：平行四边形三角学面积

难度评级：2480

小提示：

设 $\theta$ 为两条对角线的夹角；则 $PQ=AC\cos\theta$ ， $RS=BD\cos\theta$ 。

Let $\theta$ be the angle between the diagonals; then $PQ=AC\cos\theta$ and $RS=BD\cos\theta$

大提示：

面积为 $\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15$ ，结合 $AC\cos\theta=6$ ， $BD\cos\theta=8$ 。

The area is $\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15,$ which combines with $AC\cos\theta=6,$ $BD\cos\theta=8$

解答：

设两条对角线交于 $O$ ，夹角为 $\theta$ 。从 $A$ 和 $C$ 到 $BD$ 的垂足关于 $O$ 对称，所以 $PQ=AC\cos\theta=6$ ；同理 $RS=BD\cos\theta=8$ 。

平行四边形面积为 $\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15$ ，所以 $AC\cdot BD\sin\theta=30$ 。于是 $\dfrac{48\sin\theta}{\cos^2\theta}=30$ ，得 $\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac58$ 。

令 $s=\sin\theta$ ，则 $8s=5(1-s^2)$ ，解得 $s=\dfrac{-4+\sqrt{41}}{5}$ ，所以 $\cos^2\theta=1-s^2=\dfrac{8(\sqrt{41}-4)}{25}$ 。

因此 $d^2=BD^2$ $=\dfrac{64}{\cos^2\theta}$ $=8(\sqrt{41}+4)$ $=32+8\sqrt{41}$ ，所以 $m+n+p=32+8+41=81$ 。

所以正确答案是 A。

Let the diagonals meet at $O$ at angle $\theta.$ The feet of the perpendiculars from $A$ and $C$ to $BD$ are symmetric about $O,$ so $PQ=AC\cos\theta=6;$ likewise $RS=BD\cos\theta=8.$

The parallelogram’s area is $\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15,$ so $AC\cdot BD\sin\theta=30.$ Then $\dfrac{48\sin\theta}{\cos^2\theta}=30,$ giving $\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac58.$

Writing $s=\sin\theta,$ $8s=5(1-s^2)$ gives $s=\dfrac{-4+\sqrt{41}}{5},$ so $\cos^2\theta=1-s^2=\dfrac{8(\sqrt{41}-4)}{25}.$

Then $d^2=BD^2$ $=\dfrac{64}{\cos^2\theta}$ $=8(\sqrt{41}+4)$ $=32+8\sqrt{41},$ so $m+n+p=32+8+41=81.$

Thus, the correct answer is A.

25.

设 $S$ 是坐标平面中的格点集合，其两个坐标都是从 $1$ 到 $30$ 的整数（含端点）。 $S$ 中恰有 $300$ 个点位于方程为 $y=mx$ 的直线上或其下方。 $m$ 的可能值构成一个长度为 $\dfrac{a}{b}$ 的区间，其中 $a$ 和 $b$ 是互质正整数。 $a+b$ 是多少？

Let $S$ be the set of lattice points in the coordinate plane, both of whose coordinates are integers between $1$ and $30,$ inclusive. Exactly $300$ points in $S$ lie on or below a line with equation $y=mx.$ The possible values of $m$ lie in an interval of length $\dfrac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. What is $a+b?$

$31$

$47$

$62$

$72$

$85$

答案：E

知识点：格点取整函数

难度评级：2600

小提示：

对给定的 $m$ ，第 $x$ 列贡献 $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ 个位于该直线上或其下方的点

For a given $m,$ column $x$ contributes $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ points at or below the line

大提示：

随着 $m$ 增大，计数会在斜率 $\tfrac{y}{x}$ 处跳变；找出夹住计数 $300$ 的两个相邻跳变斜率

As $m$ increases, the count jumps at slopes $\tfrac{y}{x};$ find the two consecutive such slopes bracketing a count of $300$

解答：

对斜率 $m$ ，第 $x$ 列（其中 $1\le x\le 30$ ）贡献 $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ 个在直线 $y=mx$ 上或其下方的点，我们需要总数等于 $300$ 。

在 $m=\tfrac23$ 时， $30$ 的上限尚未起作用，并且 $\sum_{x=1}^{30}\lfloor \frac{2x}{3}\rfloor=300$ 。计数会保持不变，直到遇到下一个更大的斜率 $\frac{y}{x}$ ，其中 $x\le30$ 。

若 $\frac{y}{x}>\frac{2}{3}$ ，则 $3y-2x$ 是正整数。最接近的情形满足 $3y-2x=1$ ；在约束 $x\le30$ 下取满足这个同余式的最大横坐标，得到 $(y,x)=(19,28)$ 。若这个正整数至少为 $2$ ，斜率差会更大。因此，所求区间是 $[\tfrac23,\tfrac{19}{28})$ ，长度为 $\tfrac{19}{28}-\tfrac23=\tfrac1{84}$ 。

因为 $\gcd(1,84)=1$ ，所以 $a+b=1+84=85$ 。

所以正确答案是 E。

For slope $m,$ column $x$ (with $1\le x\le 30$ ) contributes $\min(30,\lfloor mx\rfloor)$ points on or below $y=mx,$ and we need the total to equal $300.$

At $m=\tfrac23,$ the cap at $30$ is inactive and $\sum_{x=1}^{30}\lfloor \frac{2x}{3}\rfloor=300.$ The count remains fixed until the next larger slope $\frac{y}{x}$ with $x\le30.$

If $\frac{y}{x}>\frac{2}{3},$ then $3y-2x$ is a positive integer. The closest possibility has $3y-2x=1;$ maximizing $x\le30$ in this congruence gives $(y,x)=(19,28).$ Any numerator at least $2$ gives a larger gap. Hence the interval is $[\tfrac23,\tfrac{19}{28}),$ whose length is $\tfrac{19}{28}-\tfrac23=\tfrac1{84}.$

Since $\gcd(1,84)=1,$ $a+b=1+84=85.$

Thus, the correct answer is E.