Question

$xy$ 平面中的点 $P(a,b)$ 先绕点 $(1,5)$ 逆时针旋转 $90^\circ$ ，再关于直线 $y=-x$ 反射。经过这两个变换后， $P$ 的像为 $(-6,3)$ 。 $b-a$ 是多少？

The point $P(a,b)$ in the $xy$ -plane is first rotated counterclockwise by $90^\circ$ around the point $(1,5)$ and then reflected about the line $y=-x.$ The image of $P$ after these two transformations is at $(-6,3).$ What is $b-a?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

答案：D

知识点：变换逆推法

难度评级：1330

小提示：

反向撤销变换：把 $(-6,3)$ 关于 $y=-x$ 反射，可以撤销最后一步

Undo the transformations: reflecting $(-6,3)$ about $y=-x$ reverses the last step

大提示：

关于 $y=-x$ 反射把 $(x,y)$ 变为 $(-y,-x)$ ；绕 $(1,5)$ 旋转 $90^\circ$ 把 $(a,b)$ 变为 $(6-b,\,4+a)$

Reflecting $(x,y)$ about $y=-x$ gives $(-y,-x);$ a $90^\circ$ rotation about $(1,5)$ sends $(a,b)$ to $(6-b,\,4+a)$

解答：

绕 $(1,5)$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 会把 $(a,b)$ 变为 $(1-(b-5),\,5+(a-1))$ $=(6-b,\,4+a)$ 。

再关于 $y=-x$ 反射（即把 $(x,y)$ 变为 $(-y,-x)$ ），得到 $(-(4+a),\,-(6-b))$ $=(-4-a,\,b-6)$ 。

令它等于 $(-6,3)$ ，得 $-4-a=-6$ 且 $b-6=3$ ，所以 $a=2$ ， $b=9$ 。

因此 $b-a=9-2=7$ 。

所以正确答案是 D。

A $90^\circ$ counterclockwise rotation about $(1,5)$ sends $(a,b)$ to $(1-(b-5),\,5+(a-1))$ $=(6-b,\,4+a).$

Reflecting that about $y=-x$ (which maps $(x,y)$ to $(-y,-x)$ ) gives $(-(4+a),\,-(6-b))$ $=(-4-a,\,b-6).$

Setting this equal to $(-6,3)$ gives $-4-a=-6$ and $b-6=3,$ so $a=2$ and $b=9.$

Therefore $b-a=9-2=7.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring 第 5 题

答案：D

难度评级：1330

小提示：

大提示：

解答：

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