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1973 AMC 12 第 5 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

5.

关于取平均数（算术平均值）这一二元运算，下列从 I\mathrm{I} 到 V\mathrm{V} 的五个叙述为：

I\mathrm{I}：取平均数满足结合律

II\mathrm{II}：取平均数满足交换律

III\mathrm{III}：取平均数对加法满足分配律

IV\mathrm{IV}：加法对取平均数满足分配律

V\mathrm{V}：取平均数运算有单位元

其中恒成立的是

Of the following five statements, I\mathrm{I} to V,\mathrm{V}, about the binary operation of averaging (arithmetic mean),

I.\mathrm{I}. Averaging is associative

II.\mathrm{II}. Averaging is commutative

III.\mathrm{III}. Averaging distributes over addition

IV.\mathrm{IV}. Addition distributes over averaging

V.\mathrm{V}. Averaging has an identity element

those which are always true are

全部

All

仅 I\mathrm{I} 和 II\mathrm{II}

I\mathrm{I} and II\mathrm{II} only

仅 II\mathrm{II} 和 III\mathrm{III}

II\mathrm{II} and III\mathrm{III} only

仅 II\mathrm{II} 和 IV\mathrm{IV}

II\mathrm{II} and IV\mathrm{IV} only

仅 II\mathrm{II} 和 V\mathrm{V}

II\mathrm{II} and V\mathrm{V} only

答案：D
知识点：自定义运算分配律反例
难度评级：1750
小提示：

将取平均数运算写成 a∗b=a+b2a*b=\frac{a+b}{2}

Write the averaging operation as a∗b=a+b2a*b=\frac{a+b}{2}

大提示：

展开每个拟议的恒等式；一个反例就足以否定某条性质

Expand each proposed identity; one counterexample is enough to reject a property

解答：

令 a∗b=a+b2a*b=\frac{a+b}{2}。交换律显然成立。此外， a+(b∗c)=2a+b+c2=(a+b)∗(a+c)。 \begin{aligned} a+(b*c) &=\frac{2a+b+c}{2}\\ &=(a+b)*(a+c) \end{aligned}\text{。}所以加法对取平均数满足分配律。

结合律不成立，因为 (a∗b)∗c=a+b+2c4,a∗(b∗c)=2a+b+c4。 \begin{aligned} (a*b)*c&=\frac{a+b+2c}{4},\\ a*(b*c)&=\frac{2a+b+c}{4} \end{aligned}\text{。}取平均数对加法不满足分配律，因为一般有 a∗(b+c)≠(a∗b)+(a∗c)。 a*(b+c)\ne(a*b)+(a*c)\text{。}最后，若单位元为 ee，则对每个 aa 都必须有 e+a2=a\frac{e+a}{2}=a，即 e=ae=a，这不可能由一个固定的 ee 满足。因此只有 II\mathrm{II} 和 IV\mathrm{IV} 恒成立。

所以正确答案是 D。

Let a∗b=a+b2.a*b=\frac{a+b}{2}. Commutativity is immediate. Also a+(b∗c)=2a+b+c2=(a+b)∗(a+c). \begin{aligned} a+(b*c) &=\frac{2a+b+c}{2}\\ &=(a+b)*(a+c). \end{aligned} so addition distributes over averaging.

Associativity fails because (a∗b)∗c=a+b+2c4,a∗(b∗c)=2a+b+c4. \begin{aligned} (a*b)*c&=\frac{a+b+2c}{4},\\ a*(b*c)&=\frac{2a+b+c}{4}. \end{aligned} Averaging does not distribute over addition since generally a∗(b+c)≠(a∗b)+(a∗c). a*(b+c)\ne(a*b)+(a*c). Finally, an identity ee would require e+a2=a\frac{e+a}{2}=a for every a,a, or e=a,e=a, which is impossible for a fixed e.e. Thus only II\mathrm{II} and IV\mathrm{IV} always hold.

Therefore, the correct answer is D.

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