Question

将两个全等的 $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ 三角形摆放成部分重叠且斜边重合。若每个三角形的斜边长为 $12$ ，则两个三角形公共部分的面积为

Two congruent $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangles are placed so that they overlap partly and their hypotenuses coincide. If the hypotenuse of each triangle is $12,$ the area common to both triangles is

$6\sqrt3$

$8\sqrt3$

$9\sqrt3$

$12\sqrt3$

$24$

答案：D

知识点：特殊直角三角形坐标几何三角形面积

难度评级：1670

小提示：

将公共斜边放在 $x$ 轴上，并让两个三角形的 $30^\circ$ 角分别位于斜边的不同端点

Place the common hypotenuse on the $x$ -axis and reverse which endpoint has the $30^\circ$ angle

大提示：

重叠区域的上边界由两条与斜边成 $30^\circ$ 角的直线组成

The upper boundary of the overlap consists of two lines making $30^\circ$ angles with the hypotenuse

解答：

将公共斜边取为从 $A=(0,0)$ 到 $B=(12,0)$ 。两个三角形的第三个顶点分别为 $(9,3\sqrt3)$ 和 $(3,3\sqrt3)$ 。它们的公共区域是以 $AB$ 为底的三角形，其顶点为 $y=\frac{x}{\sqrt3}$ 与 $y=\frac{12-x}{\sqrt3}$ 的交点。交点横坐标为 $x=6$ ，高度为 $2\sqrt3$ 。因此公共面积为 $\frac12(12)(2\sqrt3)=12\sqrt3\text{。}$

所以正确答案是 D。

Put the common hypotenuse from $A=(0,0)$ to $B=(12,0).$ The two triangles have their third vertices at $(9,3\sqrt3)$ and $(3,3\sqrt3).$ Their common region is the triangle with base $AB$ and apex where $y=\frac{x}{\sqrt3}$ and $y=\frac{12-x}{\sqrt3}$ meet. This occurs at $x=6,$ with height $2\sqrt3.$ Hence the common area is $\frac12(12)(2\sqrt3)=12\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

1973 AMC 12 第 4 题

答案：D

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题