Question

求 $1$ 到 $100$ 之间所有质数的和，这些质数同时满足：比某个 $4$ 的倍数大 $1$ ，并且比某个 $5$ 的倍数小 $1$ 。

Find the sum of all prime numbers between $1$ and $100$ that are simultaneously $1$ greater than a multiple of $4$ and $1$ less than a multiple of $5.$

$118$

$137$

$158$

$187$

$245$

答案：A

知识点：模运算质数中国剩余定理

难度评级：1240

小提示：

比 $5$ 的倍数小 $1$ 的数个位为 $4$ 或 $9$ 。

A number $1$ less than a multiple of $5$ has units digit $4$ or $9$

大提示：

同时满足 $\equiv 1 \pmod 4$ ，会迫使该数 $\equiv 9 \pmod{20}$

Being also $\equiv 1 \pmod 4$ forces the number to be $\equiv 9 \pmod{20}$

解答：

比 $5$ 的倍数小 $1$ 的数个位为 $4$ 或 $9$ ，而比 $4$ 的倍数大 $1$ 的数是奇数，所以这些数必须满足 $\equiv 9 \pmod{20}$ 。符合条件的数是 $9, 29, 49, 69, 89$ 。

其中质数只有 $29$ 和 $89$ ，和为 $29 + 89 = 118$ 。

所以正确答案是 A。

A number that is $1$ less than a multiple of $5$ ends in $4$ or $9,$ and one that is $1$ greater than a multiple of $4$ is odd. Together these give numbers $\equiv 9 \pmod{20},$ namely $9, 29, 49, 69, 89.$

Among these, only $29$ and $89$ are prime, and their sum is $29 + 89 = 118.$

Thus, the correct answer is A.

1999 AMC 12 第 4 题

答案：A

难度评级：1240

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题