Question

设 $n$ 为正整数，且 $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17+\dfrac1n$ 是整数。下列哪一个说法不正确？

Let $n$ be a positive integer such that $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17+\dfrac1n$ is an integer. Which of the following statements is not true:

$2$ 整除 $n$

$2$ divides $n$

$3$ 整除 $n$

$3$ divides $n$

$6$ 整除 $n$

$6$ divides $n$

$7$ 整除 $n$

$7$ divides $n$

$n\gt84$

答案：E

知识点：分数整除性极限情形界定

难度评级：1270

小提示：

$\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42}$ 。

$\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42}$

大提示：

整个和严格在 $0$ 和 $2$ 之间，所以它必须等于 $1$ ；解出 $n$ 。

The whole sum lies strictly between $0$ and $2,$ so it must equal $1$ ; solve for $n$

解答：

因为 $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42}$ ，所以和 $\dfrac{41}{42}+\dfrac1n$ 严格在 $0$ 和 $2$ 之间，作为整数只能是 $1$ 。于是 $\dfrac1n=\dfrac1{42}$ 得到 $n=42$ 。

现在 $2$ 、 $3$ 、 $6$ 、 $7$ 都整除 $42$ ，但 $n\gt84$ 是假的。因此不正确的说法是 $n\gt84$ 。

所以正确答案是 E。

Since $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42},$ the sum $\dfrac{41}{42}+\dfrac1n$ lies strictly between $0$ and $2,$ so it must equal $1.$ Then $\dfrac1n=\dfrac1{42},$ giving $n=42.$

Now $2,$ $3,$ $6,$ and $7$ all divide $42,$ but $n\gt84$ is false. The untrue statement is $n\gt84.$

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 12B 第 4 题

答案：E

难度评级：1270

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题