Question

以七为底的两位数 $\underline{a}\,\underline{b}$ 的值等于以九为底的两位数 $\underline{b}\,\underline{a}$ 的值。 $a + b$ 是多少？

The value of the two-digit number $\underline{a}\,\underline{b}$ in base seven equals the value of the two-digit number $\underline{b}\,\underline{a}$ in base nine. What is $a + b?$

$7$

$9$

$10$

$11$

$14$

答案：A

知识点：进制一次方程

难度评级：1200

小提示：

按位值计算，以七为底的 $\underline{a}\,\underline{b}$ 是 $7a + b$ ，以九为底的 $\underline{b}\,\underline{a}$ 是 $9b + a$ 。

Write each number in terms of its base: $\underline{a}\,\underline{b}$ is $7a + b$ and $\underline{b}\,\underline{a}$ is $9b + a$

大提示：

令 $7a + b = 9b + a$ ，再化简得到 $a$ 与 $b$ 的比例关系。

Set $7a + b = 9b + a$ and simplify to a ratio between $a$ and $b$

解答：

令 $7a + b = 9b + a$ ，得到 $6a = 8b$ ，所以 $3a = 4b$ 。因而 $a=4t$ 且 $b=3t$ 。因为两者都是七进制数字并且 $a\ne0$ ，只有 $t=1$ 可行。因此 $a=4, b=3$ ，而且确实有 $43_7 = 31 = 34_9$ 。所以 $a+b=7$ 。

因此，正确答案是 A。

Setting $7a + b = 9b + a$ gives $6a = 8b,$ so $3a = 4b.$ Thus $a=4t$ and $b=3t.$ Because both are base-seven digits and $a\ne0,$ only $t=1$ works. Hence $a=4, b=3,$ and indeed $43_7 = 31 = 34_9.$ Therefore $a+b=7.$

Thus, the correct answer is A.

2025 AMC 12B 第 4 题

答案：A

难度评级：1200

小提示：

大提示：

解答：

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