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1983 AMC 12 第 4 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

4.

在附图的平面图形中，边 AFAF 与 CDCD 平行，边 ABAB 与 FEFE 平行，边 BCBC 与 EDED 平行。每条边的长度均为 11。此外，∠FAB=∠BCD=60∘\angle FAB=\angle BCD=60^\circ。该图形的面积为

In the adjoining plane figure, sides AFAF and CDCD are parallel, as are sides ABAB and FE,FE, and sides BCBC and ED.ED. Each side has length 1.1. Also, ∠FAB=∠BCD=60∘.\angle FAB=\angle BCD=60^\circ. The area of the figure is

32\frac{\sqrt3}{2}

11

32\frac32

3\sqrt3

22

答案：D
知识点：面积面积分割等边三角形
难度评级：1660
小提示：

将 AFAF 与 CDCD 竖直放置，并利用 60∘60^\circ 角为各点设坐标

Place AFAF and CDCD vertically and use the 60∘60^\circ angles to assign coordinates

大提示：

六个顶点的横坐标变化都可以用 32\frac{\sqrt3}{2} 表示

The six vertices can be written using horizontal changes of 32\frac{\sqrt3}{2}

解答：

由平行方向和 60∘60^\circ 角可知，在刚性运动意义下，各顶点可以取为 A=(0,0),B=(32,−12),C=(3,0),D=(3,−1),E=(32,−32),F=(0,−1)。 \begin{aligned} A&=(0,0),\\ B&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12),\\ C&=(\sqrt3,0),\\ D&=(\sqrt3,-1),\\ E&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac32),\\ F&=(0,-1) \end{aligned}\text{。}对这六个顶点应用鞋带公式，得到面积 3\sqrt3。

所以正确答案是 D。

The parallel directions and 60∘60^\circ angles place the vertices, up to rigid motion, at A=(0,0),B=(32,−12),C=(3,0),D=(3,−1),E=(32,−32),F=(0,−1). \begin{aligned} A&=(0,0),\\ B&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12),\\ C&=(\sqrt3,0),\\ D&=(\sqrt3,-1),\\ E&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac32),\\ F&=(0,-1). \end{aligned} Applying the shoelace formula to these six vertices gives area 3.\sqrt3.

Therefore, the correct answer is D.

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