Question

若 $x\lt0$ ，下列哪一个一定为正？

If $x\lt0,$ then which of the following must be positive?

$\dfrac{x}{|x|}$

$-x^2$

$-2^x$

$-x^{-1}$

$\sqrt[3]{x}$

用一个负数，如 $x=-1$ ，检验每个选项。

Test each choice with a negative value such as $x=-1$

将 $-x^{-1}$ 改写为 $-\dfrac1x$ ；用负数作除数会使符号反转。

Rewrite $-x^{-1}$ as $-\dfrac1x;$ dividing into a negative number flips the sign

选项 D 为 $-x^{-1}=-\dfrac1x$ 。当 $x\lt0$ 时， $\dfrac1x\lt0$ ，所以 $-\dfrac1x\gt0$ 。

取 $x=-1$ 可知其他选项不一定为正： $\dfrac{x}{|x|}=-1$ ， $-x^2=-1$ ， $-2^x=-\tfrac12$ ，且 $\sqrt[3]{x}=-1$ 。

因此 D 是正确答案。

Choice (D) is $-x^{-1}=-\dfrac1x.$ When $x\lt0,$ $\dfrac1x\lt0,$ so $-\dfrac1x\gt0.$

Testing $x=-1$ shows the other choices need not be positive: $\dfrac{x}{|x|}=-1,$ $-x^2=-1,$ $-2^x=-\tfrac12,$ and $\sqrt[3]{x}=-1.$

Thus, D is the correct answer.