Question

将由正整数的平方组成的集合记为 $u$ ；也就是说， $u$ 是集合 $1$ 、 $4$ 、 $9$ 、 $\ldots$ 。若对集合中的一个或多个元素进行某种运算，所得结果总仍属于该集合，就称该集合对这种运算封闭。那么 $u$ 对下列哪种运算封闭？

Let the set consisting of the squares of the positive integers be called $u;$ thus $u$ is the set $1,$ $4,$ $9,$ $\ldots.$ If a certain operation on one or more members of the set always yields a member of the set, we say that the set is closed under that operation. Then $u$ is closed under:

加法

addition

乘法

multiplication

除法

division

开正整数次方根

extraction of a positive integral root

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：完全平方数反例

难度评级：1140

小提示：

用任意平方数 $m^2$ 和 $n^2$ 检验每种运算

Test each operation on arbitrary squares $m^2$ and $n^2$

大提示：

两个平方数的乘积可以立即写成平方的形式

The product of two squares has an immediate square form

解答：

对于正整数 $m,n$ ， $m^2n^2=(mn)^2\text{，}$ 它仍是一个正整数的平方。其他运算均不满足，例如 $1+4=5,\frac{1}{4}$ 以及 $\sqrt4=2$ 。

所以，正确答案是 B。

For positive integers $m,n,$ $m^2n^2=(mn)^2,$ which is again the square of a positive integer. The other operations fail, for example $1+4=5,\frac{1}{4},$ and $\sqrt4=2.$

Thus, the correct answer is B.

1961 AMC 12 第 4 题

答案：B

难度评级：1140

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题