Question

$8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5$ 的通常数字表示有多少位数字？

How many digits are in the base-ten representation of $8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5?$

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

答案：E

知识点：质因数分解数字

难度评级：1200

小提示：

把每个底数分解质因数： $8=2^3$ ， $15=3\cdot 5$ 。

Factor each base into primes: $8=2^3,$ $15=3\cdot 5$

大提示：

把每个 $2$ 与一个 $5$ 配对形成 $10$ 的幂，还会剩下一个小因子

Pair every $2$ with a $5$ to form a power of $10,$ leaving a small factor

解答：

全部分解为质因数： $\begin{gathered} 8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5\\ {}=2^{15}\cdot 5^{10}\cdot 3^5\cdot 5^5\\ {}=3^5\cdot 2^{15}\cdot 5^{15} \end{gathered}\text{。}$

这等于 $3^5\cdot 10^{15}=243\cdot 10^{15}$ 也就是 $243$ 后接 $15$ 个零，总共有 $18$ 位数字。

所以正确答案是 E。

Writing everything in primes, $\begin{gathered} 8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5\\ {}=2^{15}\cdot 5^{10}\cdot 3^5\cdot 5^5\\ {}=3^5\cdot 2^{15}\cdot 5^{15}. \end{gathered}$

This equals $3^5\cdot 10^{15}=243\cdot 10^{15},$ which is $243$ followed by $15$ zeros, for a total of $18$ digits.

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12A 第 4 题

答案：E

难度评级：1200

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题