Question

¿Cuántos dígitos tiene la representación en base diez de $8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5$ ?

How many digits are in the base-ten representation of $8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5?$

$14$

$15$

$16$

$17$

$18$

Solución:

Escribiendo todo en primos, $\begin{gathered} 8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5\\ {}=2^{15}\cdot 5^{10}\cdot 3^5\cdot 5^5\\ {}=3^5\cdot 2^{15}\cdot 5^{15}. \end{gathered}$

Esto es igual a $3^5\cdot 10^{15}=243\cdot 10^{15},$ que es $243$ seguido de $15$ ceros, para un total de $18$ dígitos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Writing everything in primes, $\begin{gathered} 8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5\\ {}=2^{15}\cdot 5^{10}\cdot 3^5\cdot 5^5\\ {}=3^5\cdot 2^{15}\cdot 5^{15}. \end{gathered}$

This equals $3^5\cdot 10^{15}=243\cdot 10^{15},$ which is $243$ followed by $15$ zeros, for a total of $18$ digits.

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12A Problema 4

Solución:

El Problema 4 en otros años