Question

Halla la suma de todos los números primos entre $1$ y $100$ que son simultáneamente $1$ mayor que un múltiplo de $4$ y $1$ menor que un múltiplo de $5.$

Find the sum of all prime numbers between $1$ and $100$ that are simultaneously $1$ greater than a multiple of $4$ and $1$ less than a multiple of $5.$

$118$

$137$

$158$

$187$

$245$

Respuesta: A

Conceptos:aritmética modular primo Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Un número $1$ menor que un múltiplo de $5$ tiene cifra de las unidades $4$ o $9$

A number $1$ less than a multiple of $5$ has units digit $4$ or $9$

Pista grande:

Ser además $\equiv 1 \pmod 4$ obliga a que el número sea $\equiv 9 \pmod{20}$

Being also $\equiv 1 \pmod 4$ forces the number to be $\equiv 9 \pmod{20}$

Solución:

Un número que es $1$ menor que un múltiplo de $5$ termina en $4$ o $9,$ y uno que es $1$ mayor que un múltiplo de $4$ es impar. Juntas, estas condiciones dan números $\equiv 9 \pmod{20},$ a saber $9, 29, 49, 69, 89.$

Entre estos, solo $29$ y $89$ son primos, y su suma es $29 + 89 = 118.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A number that is $1$ less than a multiple of $5$ ends in $4$ or $9,$ and one that is $1$ greater than a multiple of $4$ is odd. Together these give numbers $\equiv 9 \pmod{20},$ namely $9, 29, 49, 69, 89.$

Among these, only $29$ and $89$ are prime, and their sum is $29 + 89 = 118.$

Thus, the correct answer is A.

1999 AMC 12 Problema 4

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años