当 x 取区间 x\ge0 中的任意值时，设分式 (2x+3)/(x+2) 的所有可能值组成集合 S 。设 M 是 S 的最小上界， m 是 S 的最大下界。于是可以说：

(A) m 属于 S ，但 M 不属于 S

(B) M 属于 S ，但 m 不属于 S

1961 AMC 12 真题与在线限时测验

计时

1:15:00

1.

化简 $\left(-\dfrac{1}{125}\right)^{-\frac{2}{3}}$ ，结果为：

When simplified, $\left(-\dfrac{1}{125}\right)^{-\frac{2}{3}}$ becomes:

$\dfrac1{25}$

$-\dfrac1{25}$

$25$

$-25$

$25\sqrt{-1}$

答案：C

知识点：指数根式代数变形

难度评级：1230

小提示：

先开立方，再平方

Apply the cube root before squaring

大提示：

负指数表示随后取倒数

The negative exponent then takes the reciprocal

解答：

由于立方根是实数， $\left(-\frac1{125}\right)^{\frac{2}{3}} =\left(-\frac15\right)^2=\frac1{25}\text{。}$ 负指数表示取倒数，因此得到 $25$ 。

因此，正确答案是 C。

Because the cube root is real, $\left(-\frac1{125}\right)^{\frac{2}{3}} =\left(-\frac15\right)^2=\frac1{25}.$ The negative exponent takes the reciprocal, giving $25.$

Therefore, the correct answer is C.

2.

一辆汽车在 $r$ 秒内行驶 $\frac{a}{6}$ 英尺。若以此速度行驶 $3$ 分钟，它在这 $3$ 分钟内共行驶多少码？

An automobile travels $\frac{a}{6}$ feet in $r$ seconds. If this rate is maintained for $3$ minutes, how many yards does it travel in the $3$ minutes?

$\dfrac{a}{1080r}$

$\dfrac{30r}{a}$

$\dfrac{30a}{r}$

$\dfrac{10r}{a}$

$\dfrac{10a}{r}$

答案：E

知识点：路程、速度与时间单位换算

难度评级：1140

小提示：

将 $3$ 分钟换算成秒

Convert $3$ minutes to seconds

大提示：

求出以英尺计的路程后，再除以 $3$ 换算成码

After finding the distance in feet, divide by $3$ to convert to yards

解答：

汽车的速度为每秒 $\frac{a}{6r}$ 英尺。在 $180$ 秒内，汽车行驶 $180\cdot\frac{a}{6r}=\frac{30a}{r}$ 英尺，也就是 $\frac{10a}{r}$ 码。

所以，正确答案是 E。

The speed is $\frac{a}{6r}$ feet per second. In $180$ seconds the automobile travels $180\cdot\frac{a}{6r}=\frac{30a}{r}$ feet, or $\frac{10a}{r}$ yards.

Thus, the correct answer is E.

3.

若 $2y+x+3=0$ 与 $3y+ax+2=0$ 的图像垂直相交，则 $a$ 的值为：

If the graphs of $2y+x+3=0$ and $3y+ax+2=0$ are to meet at right angles, the value of $a$ is:

$\pm\dfrac23$

$-\dfrac23$

$-\dfrac32$

$6$

$-6$

答案：E

知识点：斜率坐标几何一次方程

难度评级：1320

小提示：

将两个方程都化为斜截式

Put both equations into slope-intercept form

大提示：

两条互相垂直的非竖直直线斜率之积为 $-1$

The product of the slopes of perpendicular nonvertical lines is $-1$

解答：

两条直线的斜率分别为 $-\frac{1}{2}$ 和 $-\frac{a}{3}$ 。垂直条件要求 $\left(-\frac12\right)\left(-\frac a3\right)=-1\text{，}$ 因而 $a=-6$ 。

因此，正确答案是 E。

The two slopes are $-\frac{1}{2}$ and $-\frac{a}{3}.$ Perpendicularity requires $\left(-\frac12\right)\left(-\frac a3\right)=-1,$ so $a=-6.$

Therefore, the correct answer is E.

4.

将由正整数的平方组成的集合记为 $u$ ；也就是说， $u$ 是集合 $1$ 、 $4$ 、 $9$ 、 $\ldots$ 。若对集合中的一个或多个元素进行某种运算，所得结果总仍属于该集合，就称该集合对这种运算封闭。那么 $u$ 对下列哪种运算封闭？

Let the set consisting of the squares of the positive integers be called $u;$ thus $u$ is the set $1,$ $4,$ $9,$ $\ldots.$ If a certain operation on one or more members of the set always yields a member of the set, we say that the set is closed under that operation. Then $u$ is closed under:

加法

addition

乘法

multiplication

除法

division

开正整数次方根

extraction of a positive integral root

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：完全平方数反例

难度评级：1140

小提示：

用任意平方数 $m^2$ 和 $n^2$ 检验每种运算

Test each operation on arbitrary squares $m^2$ and $n^2$

大提示：

两个平方数的乘积可以立即写成平方的形式

The product of two squares has an immediate square form

解答：

对于正整数 $m,n$ ， $m^2n^2=(mn)^2\text{，}$ 它仍是一个正整数的平方。其他运算均不满足，例如 $1+4=5,\frac{1}{4}$ 以及 $\sqrt4=2$ 。

所以，正确答案是 B。

For positive integers $m,n,$ $m^2n^2=(mn)^2,$ which is again the square of a positive integer. The other operations fail, for example $1+4=5,\frac{1}{4},$ and $\sqrt4=2.$

Thus, the correct answer is B.

5.

设 $S=(x-1)^4+4(x-1)^3$ $+6(x-1)^2+4(x-1)+1$ 。则 $S$ 等于：

Let $S=(x-1)^4+4(x-1)^3$ $+6(x-1)^2+4(x-1)+1.$ Then $S$ equals:

$(x-2)^4$

$(x-1)^4$

$x^4$

$(x+1)^4$

$x^4+1$

答案：C

知识点：二项式定理换元法

难度评级：1030

小提示：

将各项系数与 $(u+1)^4$ 的展开式比较

Compare the coefficients with the expansion of $(u+1)^4$

大提示：

令 $u=x-1$

Use $u=x-1$

解答：

该式正是二项式展开 $((x-1)+1)^4=x^4\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The expression is the binomial expansion $((x-1)+1)^4=x^4.$

Therefore, the correct answer is C.

6.

化简 $\log 8\div\log\dfrac18$ ，结果为：

When simplified, $\log 8\div\log\dfrac18$ becomes:

$6\log2$

$\log2$

$1$

$0$

$-1$

答案：E

知识点：对数代数变形

难度评级：960

小提示：

将 $\frac{1}{8}$ 写成 $8^{-1}$

Write $\frac{1}{8}$ as $8^{-1}$

大提示：

建立 $\log(\frac{1}{8})$ 与 $\log8$ 的关系

Relate $\log(\frac{1}{8})$ to $\log8$

解答：

由于 $\log(\frac{1}{8})=\log(8^{-1})=-\log8$ ， $\frac{\log8}{\log(\frac{1}{8})}=-1\text{。}$

所以，正确答案是 E。

Since $\log(\frac{1}{8})=\log(8^{-1})=-\log8,$ $\frac{\log8}{\log(\frac{1}{8})}=-1.$

Thus, the correct answer is E.

7.

展开式 $\left(\frac{a}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{a^2}\right)^6$ 的第三项化简后为：

When simplified, the third term in the expansion of $\left(\frac{a}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{a^2}\right)^6$ is:

$\dfrac{15}{x}$

$-\dfrac{15}{x}$

$-\dfrac{6x^2}{a^9}$

$\dfrac{20}{a^3}$

$-\dfrac{20}{a^3}$

答案：A

知识点：二项式定理指数代数变形

难度评级：1280

小提示：

第三项中取了两次二项式的第二项

The third term uses two copies of the second binomial term

大提示：

使用系数 $\binom62$ ，再化简 $a$ 与 $x$ 的幂

Use the coefficient $\binom62$ and simplify the powers of $a$ and $x$

解答：

第三项为 $\begin{aligned} &\binom62\left(\frac a{\sqrt x}\right)^4 \left(-\frac{\sqrt x}{a^2}\right)^2\\ &\qquad=15\cdot\frac{a^4}{x^2}\cdot\frac{x}{a^4} =\frac{15}{x} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

The third term is $\begin{aligned} &\binom62\left(\frac a{\sqrt x}\right)^4 \left(-\frac{\sqrt x}{a^2}\right)^2\\ &\qquad=15\cdot\frac{a^4}{x^2}\cdot\frac{x}{a^4} =\frac{15}{x}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

8.

设三角形的两个底角为 $A$ 和 $B$ ，且 $B$ 大于 $A$ 。底边上的高将顶角 $C$ 分成 $C_1$ 和 $C_2$ 两部分，其中 $C_2$ 与边 $a$ 相邻。则：

Let the two base angles of a triangle be $A$ and $B,$ with $B$ larger than $A.$ The altitude to the base divides the vertex angle $C$ into two parts, $C_1$ and $C_2,$ with $C_2$ adjacent to side $a.$ Then:

$C_1+C_2=A+B$

$C_1-C_2=B-A$

$C_1-C_2=A-B$

$C_1+C_2=B-A$

$C_1-C_2=A+B$

答案：B

知识点：高线导角角度和

难度评级：1470

小提示：

这条高形成两个直角三角形

The altitude creates two right triangles

大提示：

将 $C$ 的两部分分别表示为对应底角的余角

Express each part of $C$ as a complement of the opposite base angle

解答：

由两个直角三角形可得 $\begin{aligned} A+C_1&=90^\circ,\\ B+C_2&=90^\circ \end{aligned}\text{。}$ 用第一个关系式减去第二个关系式，得到 $C_1-C_2=B-A$ 。

所以，正确答案是 B。

The two right triangles give $\begin{aligned} A+C_1&=90^\circ,\\ B+C_2&=90^\circ. \end{aligned}$ Subtracting the second relation from the first gives $C_1-C_2=B-A.$

Thus, the correct answer is B.

9.

将 $a^b$ 的底数和指数都加倍，所得结果记为 $r$ ，其中 $b\ne0$ 。若 $r$ 等于 $a^b$ 与 $x^b$ 的乘积，则 $x$ 等于：

Let $r$ be the result of doubling both the base and the exponent of $a^b,$ $b\ne0.$ If $r$ equals the product of $a^b$ by $x^b,$ then $x$ equals:

$a$

$2a$

$4a$

$2$

$4$

答案：C

知识点：指数代数变形

难度评级：1450

小提示：

将加倍后的式子写成 $(2a)^{2b}$

Write the doubled expression as $(2a)^{2b}$

大提示：

将等式两边都表示成某个量的 $b$ 次幂

Express both sides as a single quantity raised to the $b$ th power

解答：

有 $r=(2a)^{2b}=(4a^2)^b$ 同时 $r=a^bx^b=(ax)^b$ 。因此 $ax=4a^2$ ，所以 $x=4a$ 。

因此，正确答案是 C。

We have $r=(2a)^{2b}=(4a^2)^b$ and also $r=a^bx^b=(ax)^b.$ Thus $ax=4a^2,$ so $x=4a.$

Therefore, the correct answer is C.

10.

三角形 $ABC$ 的每条边长均为 $12$ 个单位。由 $A$ 向 $BC$ 作垂线，垂足为 $D$ ，且 $E$ 是 $AD$ 的中点。以同一单位计， $BE$ 的长度为：

Each side of triangle $ABC$ is $12$ units. $D$ is the foot of the perpendicular dropped from $A$ on $BC,$ and $E$ is the midpoint of $AD.$ The length of $BE,$ in the same unit, is:

$\sqrt{18}$

$\sqrt{28}$

$6$

$\sqrt{63}$

$\sqrt{98}$

答案：D

知识点：等边三角形中线（几何）勾股定理

难度评级：1340

小提示：

在等边三角形中求出 $BD$ 和 $AD$

In the equilateral triangle, find $BD$ and $AD$

大提示：

将 $AD$ 减半后，利用直角三角形 $BDE$

Use right triangle $BDE$ after halving $AD$

解答：

在等边三角形中， $BD=6$ ，且 $AD=6\sqrt3$ 。因此 $DE=3\sqrt3$ ，再由直角三角形 $BDE$ 得 $\begin{aligned} BE^2&=6^2+(3\sqrt3)^2\\ &=36+27=63 \end{aligned}\text{。}$ 所以 $BE=\sqrt{63}$ 。

所以，正确答案是 D。

In the equilateral triangle, $BD=6$ and $AD=6\sqrt3.$ Hence $DE=3\sqrt3,$ and right triangle $BDE$ gives $\begin{aligned} BE^2&=6^2+(3\sqrt3)^2\\ &=36+27=63. \end{aligned}$ Therefore $BE=\sqrt{63}.$

Thus, the correct answer is D.

11.

从圆外一点 $A$ 向圆作两条切线，切点分别为 $B$ 和 $C$ 。第三条切线与线段 $AB$ 交于 $P$ ，与 $AC$ 交于 $R$ ，并与圆相切于 $Q$ 。若 $AB=20$ ，则三角形 $APR$ 的周长为：

Two tangents are drawn to a circle from an exterior point $A;$ they touch the circle at points $B$ and $C,$ respectively. A third tangent intersects segment $AB$ in $P$ and $AC$ in $R,$ and touches the circle at $Q.$ If $AB=20,$ then the perimeter of triangle $APR$ is:

$42$

$40.5$

$40$

$39\dfrac78$

无法由已知信息确定

not determined by the given information

答案：C

知识点：切线周长代数变形

难度评级：1440

小提示：

从同一圆外点引出的两条切线段长度相等

Tangent segments from the same exterior point have equal lengths

大提示：

在周长中用 $PB$ 代替 $PQ$ ，用 $RC$ 代替 $RQ$

Replace $PQ$ by $PB$ and $RQ$ by $RC$ in the perimeter

解答：

由切线段相等可得 $PQ=PB$ 且 $RQ=RC$ 。因此 $\begin{aligned} AP+PR+RA &=AP+PQ\\ &\quad+RQ+RA\\ &=AP+PB\\ &\quad+RC+RA\\ &=AB+AC \end{aligned}\text{。}$ 又因为 $AB=AC=20$ ，所以周长为 $40$ 。

因此，正确答案是 C。

Equal tangent segments give $PQ=PB$ and $RQ=RC.$ Thus $\begin{aligned} AP+PR+RA &=AP+PQ\\ &\quad+RQ+RA\\ &=AP+PB\\ &\quad+RC+RA\\ &=AB+AC. \end{aligned}$ Also $AB=AC=20,$ so the perimeter is $40.$

Therefore, the correct answer is C.

12.

一个等比数列的前三项为 $\sqrt2$ 、 $\sqrt[3]2$ 、 $\sqrt[6]2$ 。求第四项。

The first three terms of a geometric progression are $\sqrt2,$ $\sqrt[3]2,$ $\sqrt[6]2.$ Find the fourth term.

$1$

$\sqrt[7]2$

$\sqrt[8]2$

$\sqrt[9]2$

$\sqrt[10]2$

答案：A

知识点：等比数列指数

难度评级：1320

小提示：

将每个根式写成 $2$ 的幂

Write each radical as a power of $2$

大提示：

检查相邻指数之间的差

Check the differences between the successive exponents

解答：

各项的指数为 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、 $\frac{1}{6}$ 。每一项都是前一项乘以 $2^{-\frac{1}{6}}$ 得到的，所以后一项的指数为 $\frac{1}{6}-\frac{1}{6}=0$ 。第四项是 $2^0=1$ 。

所以，正确答案是 A。

The exponents are $\frac{1}{2},$ $\frac{1}{3},$ and $\frac{1}{6}.$ Each term is obtained by multiplying by $2^{-\frac{1}{6}},$ so the next exponent is $\frac{1}{6}-\frac{1}{6}=0.$ The fourth term is $2^0=1.$

Thus, the correct answer is A.

13.

符号 $|a|$ 表示：当 $a$ 为正数或零时取 $a$ ，当 $a$ 为负数时取 $-a$ 。对于 $t$ 的所有实数值，表达式 $\sqrt{t^4+t^2}$ 等于：

The symbol $|a|$ means $a$ if $a$ is a positive number or zero, and $-a$ if $a$ is a negative number. For all real values of $t$ the expression $\sqrt{t^4+t^2}$ is equal to:

$t^3$

$t^2+t$

$|t^2+t|$

$t\sqrt{t^2+1}$

$|t|\sqrt{1+t^2}$

答案：E

知识点：根式绝对值因式分解

难度评级：1320

小提示：

从根号内提取因子 $t^2$

Factor $t^2$ from under the radical

大提示：

对实数 $t$ ， $\sqrt{t^2}=|t|$

For real $t,$ $\sqrt{t^2}=|t|$

解答：

在根号内因式分解可得 $\begin{aligned} \sqrt{t^2(t^2+1)} &=\sqrt{t^2}\sqrt{t^2+1}\\ &=|t|\sqrt{1+t^2} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Factoring inside the radical gives $\begin{aligned} \sqrt{t^2(t^2+1)} &=\sqrt{t^2}\sqrt{t^2+1}\\ &=|t|\sqrt{1+t^2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

14.

一个菱形的一条对角线长度是另一条的两倍。用 $K$ 表示该菱形的边长，其中 $K$ 是以平方英寸为单位的菱形面积。

A rhombus is given with one diagonal twice the length of the other diagonal. Express the side of the rhombus in terms of $K,$ where $K$ is the area of the rhombus in square inches.

$\sqrt K$

$\dfrac12\sqrt{2K}$

$\dfrac13\sqrt{3K}$

$\dfrac14\sqrt{4K}$

以上都不正确

none of these are correct

答案：E

知识点：菱形对角线面积勾股定理

难度评级：1510

小提示：

设两条对角线为 $d$ 和 $2d$ ，再使用菱形面积公式

Let the diagonals be $d$ and $2d$ , then use the rhombus area formula

大提示：

两条半对角线构成直角三角形的两条直角边，其斜边就是菱形的一条边

Half-diagonals form the legs of a right triangle whose hypotenuse is a side

解答：

设两条对角线为 $d$ 和 $2d$ 。则 $K=\frac{d(2d)}{2}=d^2$ 。一条边的长度为 $\begin{aligned} \sqrt{\left(\frac d2\right)^2+d^2} &=\frac{\sqrt5}{2}d\\ &=\frac12\sqrt{5K} \end{aligned}\text{。}$ 前四个选项中没有这个结果。

所以，正确答案是 E。

Let the diagonals be $d$ and $2d.$ Then $K=\frac{d(2d)}{2}=d^2.$ A side has length $\begin{aligned} \sqrt{\left(\frac d2\right)^2+d^2} &=\frac{\sqrt5}{2}d\\ &=\frac12\sqrt{5K}. \end{aligned}$ This is not among the first four choices.

Thus, the correct answer is E.

15.

若 $x$ 名工人每天工作 $x$ 小时，连续工作 $x$ 天，共生产 $x$ 件产品，那么 $y$ 名工人每天工作 $y$ 小时，连续工作 $y$ 天，所生产的产品件数（不一定是整数）为：

If $x$ men working $x$ hours a day for $x$ days produce $x$ articles, then the number of articles (not necessarily an integer) produced by $y$ men working $y$ hours a day for $y$ days is:

$\dfrac{x^3}{y^2}$

$\dfrac{y^3}{x^2}$

$\dfrac{x^2}{y^3}$

$\dfrac{y^2}{x^3}$

$y$

答案：B

知识点：速率比与比例代数变形

难度评级：1450

小提示：

根据第一种情况求出每工时的产量

Compute the production per man-hour from the first situation

大提示：

第二种情况共使用 $y^3$ 个工时

The second situation uses $y^3$ man-hours

解答：

第一组用 $x^3$ 个工时生产 $x$ 件产品，所以每工时的产量为 $\frac{1}{x^2}$ 件。第二组提供 $y^3$ 个工时，因此生产 $\frac{y^3}{x^2}$ 件产品。

所以，正确答案是 B。

The first group uses $x^3$ man-hours to make $x$ articles, so the rate is $\frac{1}{x^2}$ article per man-hour. The second group supplies $y^3$ man-hours and therefore makes $\frac{y^3}{x^2}$ articles.

Thus, the correct answer is B.

16.

将三角形的一条高 $h$ 增加 $m$ 。为了使新三角形的面积为原三角形面积的一半，对应底边 $b$ 必须减去多少？

An altitude $h$ of a triangle is increased by a length $m.$ How much must be taken from the corresponding base $b$ so that the area of the new triangle is one-half that of the original triangle?

$\dfrac{bm}{h+m}$

$\dfrac{bh}{2h+2m}$

$\dfrac{b(2m+h)}{m+h}$

$\dfrac{b(m+h)}{2m+h}$

$\dfrac{b(2m+h)}{2(h+m)}$

答案：E

知识点：三角形面积一次方程代数变形

难度评级：1510

小提示：

设减去的长度为 $t$ ，则新底边为 $b-t$

Let $t$ be the amount removed, so the new base is $b-t$

大提示：

令 $\frac12(b-t)(h+m)$ 等于原面积的一半

Set $\frac12(b-t)(h+m)$ equal to half the original area

解答：

若减去 $t$ ，新面积应满足 $\frac12(b-t)(h+m)=\frac12\left(\frac12bh\right)\text{。}$ 因此 $b-t=\frac{bh}{2(h+m)}$ ，所以 $\begin{aligned} t&=b-\frac{bh}{2(h+m)}\\ &=\frac{b(2m+h)}{2(h+m)} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

If $t$ is removed, the new area condition is $\frac12(b-t)(h+m)=\frac12\left(\frac12bh\right).$ Hence $b-t=\frac{bh}{2(h+m)},$ so $\begin{aligned} t&=b-\frac{bh}{2(h+m)}\\ &=\frac{b(2m+h)}{2(h+m)}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is E.

17.

在十进制中，数 $526$ 表示 $5\cdot10^2+2\cdot10+6$ 。但在“数学国”，数是用 $r$ 进制书写的。琼斯在那里花 $440$ 个货币单位（缩写为 m.u.）购买一辆汽车。他交给售货员一张 $1000$ m.u. 的钞票，并找回 $340$ m.u.。进制的底 $r$ 为：

In the base ten number system the number $526$ means $5\cdot10^2+2\cdot10+6.$ In the Land of Mathesis, however, numbers are written in the base $r.$ Jones purchases an automobile there for $440$ monetary units (abbreviated m.u.). He gives the salesman a $1000$ m.u. bill, and receives, in change, $340$ m.u. The base $r$ is:

$2$

$5$

$7$

$8$

$12$

答案：D

知识点：进制位值二次方程

难度评级：1490

小提示：

将 $1000_r-440_r=340_r$ 改写成 $r$ 的幂

Translate $1000_r-440_r=340_r$ into powers of $r$

大提示：

化简所得二次方程，并注意进制底必须大于所有出现的数字

Simplify the resulting quadratic and use a base larger than every digit shown

解答：

用通常的记法，这笔交易表示为 $r^3-(4r^2+4r)=3r^2+4r\text{。}$ 因此 $r(r^2-7r-8)=0$ ，所以 $r=8$ 或 $r=-1$ 。进制的底必须为正且大于 $4$ ，故 $r=8$ 。

因此，正确答案是 D。

In ordinary notation the transaction says $r^3-(4r^2+4r)=3r^2+4r.$ Thus $r(r^2-7r-8)=0,$ so $r=8$ or $r=-1.$ A numeral base must be positive and exceed $4,$ hence $r=8.$

Therefore, the correct answer is D.

18.

某镇人口在连续四年中的逐年变化依次为：增加 $25\%$ 、增加 $25\%$ 、减少 $25\%$ 、减少 $25\%$ 。这四年的净变化取到最接近的百分数为：

The yearly changes in the population census of a town for four consecutive years are, respectively, $25\%$ increase, $25\%$ increase, $25\%$ decrease, $25\%$ decrease. The net change over the four years, to the nearest percent, is:

$-12$

$-1$

$0$

$1$

$12$

答案：A

知识点：百分数指数估算

难度评级：1340

小提示：

每次增加用因子 $1.25$ 表示，每次减少用 $0.75$ 表示

Represent each increase by a factor of $1.25$ and each decrease by $0.75$

大提示：

比较 $1.25^2\cdot0.75^2$ 与 $1$

Compare $1.25^2\cdot0.75^2$ with $1$

解答：

最终人口相当于原人口乘以 $(1.25)^2(0.75)^2=\frac{225}{256}\approx0.879\text{。}$ 这表示约减少 $12.1\%$ ，取整后为 $12\%$ 。

所以，正确答案是 A。

The final population is multiplied by $(1.25)^2(0.75)^2=\frac{225}{256}\approx0.879.$ This is a decrease of about $12.1\%,$ which rounds to $12\%.$

Thus, the correct answer is A.

19.

考虑 $y=2\log x$ 和 $y=\log2x$ 的图像。可以说：

Consider the graphs of $y=2\log x$ and $y=\log2x.$ We may say that:

它们不相交

they do not intersect

它们恰好交于 $1$ 个点

they intersect at $1$ point only

它们恰好交于 $2$ 个点

they intersect at $2$ points only

它们交于有限个点，但交点数大于 $2$

they intersect at a finite number of points but greater than $2$

它们重合

they coincide

答案：B

知识点：对数因式分解坐标几何

难度评级：1110

小提示：

当 $x>0$ 时，使用 $2\log x=\log(x^2)$

Use $2\log x=\log(x^2)$ for $x>0$

大提示：

令两个对数的真数相等，并注意对数的定义域

Equate the logarithm arguments and respect the logarithm’s domain

解答：

在定义域 $x>0$ 上，两式相等要求 $\log(x^2)=\log(2x)\text{，}$ 因而 $x^2=2x$ 。唯一的正解是 $x=2$ ，所以恰有一个交点。

因此，正确答案是 B。

On the domain $x>0,$ equality requires $\log(x^2)=\log(2x),$ so $x^2=2x.$ The only positive solution is $x=2,$ giving exactly one intersection.

Therefore, the correct answer is B.

20.

同时满足不等式 $y>2x$ 和 $y>4-x$ 的点集完全位于下列象限：

The set of points satisfying the pair of inequalities $y>2x$ and $y>4-x$ is contained entirely in quadrants:

$\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{II}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ 和 $\mathrm{IV}$

$\mathrm{III}$ and $\mathrm{IV}$

$\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{IV}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{IV}$

答案：A

知识点：不等式坐标几何

难度评级：1410

小提示：

证明每个满足条件的点都有正的 $y$ 坐标

Show that every feasible point has positive $y$

大提示：

检查满足条件的点能否具有正、负两种 $x$ 坐标

Check whether feasible points can have either sign of $x$

解答：

若 $x\ge0$ ，则 $y>2x\ge0$ 。若 $x<0$ ，则 $y>4-x>0$ 。因此每个满足条件的点都位于 $x$ 轴上方，同时正、负 $x$ 值都能出现。该区域位于第 $\mathrm{I}$ 、 $\mathrm{II}$ 象限。

因此，正确答案是 A。

If $x\ge0,$ then $y>2x\ge0.$ If $x<0,$ then $y>4-x>0.$ Thus every feasible point is above the $x$ -axis, while both positive and negative $x$ -values occur. The region lies in quadrants $\mathrm{I}$ and $\mathrm{II}.$

Therefore, the correct answer is A.

21.

三角形 $ABC$ 的中线 $AD$ 和 $CE$ 交于 $M$ 。 $AE$ 的中点为 $N$ 。若三角形 $MNE$ 的面积是三角形 $ABC$ 面积的 $k$ 倍，则 $k$ 等于：

Medians $AD$ and $CE$ of triangle $ABC$ intersect in $M.$ The midpoint of $AE$ is $N.$ Let the area of triangle $MNE$ be $k$ times the area of triangle $ABC.$ Then $k$ equals:

$\dfrac16$

$\dfrac18$

$\dfrac19$

$\dfrac1{12}$

$\dfrac1{16}$

答案：D

知识点：中线（几何）重心面积比行列式

难度评级：1300

小提示：

以 $A$ 为原点使用坐标或向量

Use coordinates or vectors with $A$ as the origin

大提示：

点 $E$ 、 $N$ 和 $M$ 在两条中线方向上对应简单的分数位置

Points $E,$ $N,$ and $M$ divide the same two median directions by simple fractions

解答：

令 $A=\mathbf0$ 、 $B=\mathbf b$ 、 $C=\mathbf c$ 。则 $\begin{aligned} E&=\frac{\mathbf b}{2},\\ N&=\frac{\mathbf b}{4},\\ M&=\frac{\mathbf b+\mathbf c}{3} \end{aligned}\text{。}$ 计算行列式得 $[MNE]=\frac1{24} \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|\text{，}$ 而 $[ABC]=\frac12 \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|\text{。}$ 两者之比为 $\frac{1}{12}$ 。

所以，正确答案是 D。

Set $A=\mathbf0,$ $B=\mathbf b,$ and $C=\mathbf c.$ Then $\begin{aligned} E&=\frac{\mathbf b}{2},\\ N&=\frac{\mathbf b}{4},\\ M&=\frac{\mathbf b+\mathbf c}{3}. \end{aligned}$ A determinant calculation gives $[MNE]=\frac1{24} \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|,$ while $[ABC]=\frac12 \left|\det(\mathbf b,\mathbf c)\right|.$ Their ratio is $\frac{1}{12}.$

Thus, the correct answer is D.

22.

若 $3x^3-9x^2+kx-12$ 能被 $x-3$ 整除，则它也能被下式整除：

If $3x^3-9x^2+kx-12$ is divisible by $x-3,$ then it is also divisible by:

$3x^2-x+4$

$3x^2-4$

$3x^2+4$

$3x-4$

$3x+4$

答案：C

知识点：多项式因式分解换元法

难度评级：1180

小提示：

在 $x=3$ 处应用因式定理求 $k$

Apply the factor theorem at $x=3$ to determine $k$

大提示：

然后提出因式 $x-3$

Then factor out $x-3$

解答：

令 $P(x)=3x^3-9x^2+kx-12$ 。由于 $x-3$ 是因式， $P(3)=81-81+3k-12=0\text{，}$ 所以 $k=4$ 。直接相除得 $P(x)=(x-3)(3x^2+4)\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Let $P(x)=3x^3-9x^2+kx-12.$ Since $x-3$ is a factor, $P(3)=81-81+3k-12=0,$ so $k=4.$ Direct division gives $P(x)=(x-3)(3x^2+4).$

Therefore, the correct answer is C.

23.

点 $P$ 和 $Q$ 都在线段 $AB$ 上，并位于其中点的同一侧。 $P$ 以 $2:3$ 的比内分 $AB$ ， $Q$ 以 $3:4$ 的比内分 $AB$ 。若 $PQ=2$ ，则 $AB$ 的长度为：

Points $P$ and $Q$ are both in the line segment $AB$ and on the same side of its midpoint. $P$ divides $AB$ in the ratio $2:3,$ and $Q$ divides $AB$ in the ratio $3:4.$ If $PQ=2,$ then the length of $AB$ is:

$60$

$70$

$75$

$80$

$85$

答案：B

知识点：比与比例分数一次方程

难度评级：1390

小提示：

由两个分点比写出 $\frac{AP}{AB}$ 和 $\frac{AQ}{AB}$

Express $\frac{AP}{AB}$ and $\frac{AQ}{AB}$ from the two division ratios

大提示：

两者之差就是 $PQ$ 占 $AB$ 的比例

Their difference is the fraction of $AB$ represented by $PQ$

解答：

由分点比得 $\frac{AP}{AB}=\frac25$ 和 $\frac{AQ}{AB}=\frac37$ 。因此 $PQ=(\frac{3}{7}-\frac{2}{5})AB=\frac{AB}{35}$ 。因为 $PQ=2$ ，所以 $AB=70$ 。

所以，正确答案是 B。

The division ratios give $\frac{AP}{AB}=\frac25$ and $\frac{AQ}{AB}=\frac37.$ Hence $PQ=(\frac{3}{7}-\frac{2}{5})AB=\frac{AB}{35}.$ Since $PQ=2,$ we obtain $AB=70.$

Thus, the correct answer is B.

24.

三十一本书从左到右按价格递增排列。每本书与相邻书的价格相差 $\$2$ 。用最右端一本书的价格，顾客可以买到中间一本书和与它相邻的一本书。则：

Thirty-one books are arranged from left to right in order of increasing prices. The price of each book differs by $\$2$ from that of each adjacent book. For the price of the book at the extreme right a customer can buy the middle book and an adjacent one. Then:

所指的相邻书位于中间那本书的左侧

the adjacent book referred to is at the left of the middle book

中间那本书售价 $\$36$

the middle book sells for $\$36$

最便宜的书售价 $\$4$

the cheapest book sells for $\$4$

最贵的书售价 $\$64$

the most expensive book sells for $\$64$

以上都不正确

none of these are correct

答案：A

知识点：等差数列钱币分类讨论

难度评级：1530

小提示：

设最低价格为 $p$ ，写出第 $16$ 本和第 $31$ 本的价格

Let the cheapest price be $p$ ; identify the $16$ th and $31$ st prices

大提示：

分别检验中间书两侧的书，并排除使价格非正的情形

Test the two books adjacent to the middle book and reject any case forcing a nonpositive price

解答：

各书价格为 $p$ 、 $p+2$ 、 $\ldots$ 、 $p+60$ ，中间一本的价格为 $p+30$ 。若取右侧相邻书，则 $(p+30)+(p+32)=p+60\text{，}$ 得 $p=-2$ ，不可能是售价。取左侧相邻书时 $(p+30)+(p+28)=p+60\text{，}$ 所以 $p=2$ 。因此相邻书必须是左侧那一本。

因此，正确答案是 A。

The prices are $p,$ $p+2,$ $\ldots,$ $p+60,$ and the middle price is $p+30.$ If the right neighbor is used, then $(p+30)+(p+32)=p+60,$ which gives $p=-2,$ impossible for a selling price. The left neighbor gives $(p+30)+(p+28)=p+60,$ so $p=2.$ Thus the adjacent book must be the one to the left.

Therefore, the correct answer is A.

25.

三角形 $ABC$ 是以 $AC$ 为底的等腰三角形。点 $P$ 和 $Q$ 分别位于 $CB$ 和 $AB$ 上，且 $AC=AP=PQ=QB$ 。角 $B$ 的度数为：

Triangle $ABC$ is isosceles with base $AC.$ Points $P$ and $Q$ are respectively in $CB$ and $AB$ and such that $AC=AP=PQ=QB.$ The number of degrees in angle $B$ is:

$25\dfrac57$

$26\dfrac13$

$30$

$40$

无法由已知信息确定

not determined by the information given

答案：A

知识点：等腰三角形导角角度和

难度评级：1780

小提示：

令 $\angle B=m$ ，利用每一对相等线段构造等腰三角形

Let $\angle B=m$ and use each pair of equal segments to create isosceles triangles

大提示：

在三角形 $BQP$ 、 $AQP$ 和 $APC$ 中逐步追角

Chase the angles through triangles $BQP,$ $AQP,$ and $APC$

解答：

令 $\angle B=m$ 。由 $PQ=QB$ ，三角形 $BQP$ 给出 $\angle QPB=m$ 和 $\angle AQP=2m$ 。由 $AP=PQ$ ，三角形 $AQP$ 给出 $\angle QAP=2m$ ，故 $\angle QPA=180^\circ-4m$ 。由于 $B,P,C$ 共线， $\angle APC=3m$ 。再由 $AP=AC$ 得 $\angle ACP=3m$ 。最后， $AB=BC$ 使 $ABC$ 的两个底角均为 $3m$ ，且 $m+3m+3m=180^\circ\text{。}$ 因此 $m=\frac{180^\circ}{7}=25\dfrac57^\circ$ 。

所以，正确答案是 A。

Let $\angle B=m.$ Since $PQ=QB,$ triangle $BQP$ gives $\angle QPB=m$ and $\angle AQP=2m.$ Since $AP=PQ,$ triangle $AQP$ gives $\angle QAP=2m,$ so $\angle QPA=180^\circ-4m.$ As $B,P,C$ are collinear, $\angle APC=3m.$ Now $AP=AC$ gives $\angle ACP=3m.$ Finally $AB=BC$ makes both base angles of $ABC$ equal to $3m,$ and $m+3m+3m=180^\circ.$ Therefore $m=\frac{180^\circ}{7}=25\dfrac57^\circ.$

Thus, the correct answer is A.

26.

某等差数列的前 $50$ 项之和为 $200$ ，接下来的 $50$ 项之和为 $2700$ 。该数列的首项为：

For a given arithmetic series the sum of the first $50$ terms is $200,$ and the sum of the next $50$ terms is $2700.$ The first term in the series is:

$-12\dfrac12$

$-21.5$

$-20.5$

$3$

$3.5$

答案：C

知识点：等差数列求和方程组

难度评级：1280

小提示：

用首项 $a$ 和公差 $d$ 表示第一个和

Write the first sum in terms of the first term $a$ and common difference $d$

大提示：

后 $50$ 项的首项为 $a+50d$

The next $50$ terms have first term $a+50d$

解答：

两个和给出 $\begin{aligned} 25(2a+49d)&=200,\\ 25(2a+149d)&=2700 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $2a+49d=8$ 且 $2a+149d=108$ 。相减得 $d=1$ ，继而 $2a=-41$ ，所以 $a=-20.5$ 。

因此，正确答案是 C。

The two sums give $\begin{aligned} 25(2a+49d)&=200,\\ 25(2a+149d)&=2700. \end{aligned}$ Thus $2a+49d=8$ and $2a+149d=108.$ Subtraction gives $d=1,$ and then $2a=-41,$ so $a=-20.5.$

Therefore, the correct answer is C.

27.

给定边数不同的两个等角多边形 $P_1$ 和 $P_2$ ； $P_1$ 的每个角为 $x$ 度， $P_2$ 的每个角为 $kx$ 度，其中 $k$ 是大于 $1$ 的整数。数对 $(x,k)$ 的可能个数为：

Given two equiangular polygons $P_1$ and $P_2$ with different numbers of sides; each angle of $P_1$ is $x$ degrees and each angle of $P_2$ is $kx$ degrees, where $k$ is an integer greater than $1.$ The number of possibilities for the pair $(x,k)$ is:

无穷多个

infinite

有限个，但多于两个

finite, but greater than two

两个

two

一个

one

零个

zero

答案：D

知识点：等角多边形角度和不等式

难度评级：1710

小提示：

等角 $n$ 边形的每个角为 $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$

An equiangular $n$ -gon has angle $180^\circ-\frac{360^\circ}{n}$

大提示：

用 $kx<180^\circ$ 和 $k\ge2$ 限制较小的角 $x$

Use $kx<180^\circ$ and $k\ge2$ to constrain the smaller angle $x$

解答：

每个多边形内角至少为 $60^\circ$ ，每个凸多边形内角小于 $180^\circ$ 。由于 $k\ge2$ 且 $kx<180^\circ$ ，必须有 $x<90^\circ$ 。区间 $[60^\circ,90^\circ)$ 内唯一可能的等角多边形内角是三角形的 $x=60^\circ$ 。此时 $k=2$ 给出 $kx=120^\circ$ ，即正六边形的内角；更大的 $k$ 不可能。因此只有一对。

所以，正确答案是 D。

Every polygon angle is at least $60^\circ,$ and every convex polygon angle is less than $180^\circ.$ Since $k\ge2$ and $kx<180^\circ,$ we need $x<90^\circ.$ The only possible equiangular polygon angle in $[60^\circ,90^\circ)$ is the triangle angle $x=60^\circ.$ Then $k=2$ gives $kx=120^\circ,$ the angle of a regular hexagon; larger $k$ is impossible. Hence there is one pair.

Thus, the correct answer is D.

28.

将 $2137^{753}$ 完全乘开后，所得乘积的个位数字为：

If $2137^{753}$ is multiplied out, the units’ digit in the final product is:

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

答案：D

知识点：个位数字模幂运算找规律

难度评级：1320

小提示：

只需考虑底数的个位数字

Only the units digit of the base matters

大提示：

列出 $7$ 的幂模 $10$ 的四项循环

List the four-term cycle of powers of $7$ modulo $10$

解答：

$7$ 的各次幂个位数字按 $7$ 、 $9$ 、 $3$ 、 $1$ 循环，周期为 $4$ 。由于 $753\equiv1\pmod4$ ， $2137^{753}$ 的个位数字为 $7$ 。

因此，正确答案是 D。

Powers of $7$ have units digits $7,$ $9,$ $3,$ $1$ in a cycle of length $4.$ Since $753\equiv1\pmod4,$ the units digit of $2137^{753}$ is $7.$

Therefore, the correct answer is D.

29.

设 $ax^2+bx+c=0$ 的两根为 $r$ 和 $s$ 。以 $ar+b$ 和 $as+b$ 为根的方程是：

Let the roots of $ax^2+bx+c=0$ be $r$ and $s.$ The equation with roots $ar+b$ and $as+b$ is:

$x^2-bx-ac=0$

$x^2-bx+ac=0$

$x^2+3bx+ca+2b^2=0$

$x^2+3bx-ca+2b^2=0$

$\begin{gathered}x^2+bx(2-a)\\{}+a^2c+b^2(a+1)=0\end{gathered}$

答案：B

知识点：韦达定理二次方程代数变形

难度评级：1500

小提示：

使用 $r+s=-\frac{b}{a}$ 和 $rs=\frac{c}{a}$

Use $r+s=-\frac{b}{a}$ and $rs=\frac{c}{a}$

大提示：

计算 $ar+b$ 与 $as+b$ 的和及乘积

Compute the sum and product of $ar+b$ and $as+b$

解答：

变换后的两根之和为 $a(r+s)+2b=-b+2b=b$ 乘积为 $\begin{gathered} (ar+b)(as+b)\\ =a^2rs+ab(r+s)+b^2\\ =ac \end{gathered}\text{。}$ 因此以它们为根的首一方程为 $x^2-bx+ac=0$ 。

所以，正确答案是 B。

The transformed roots have sum $a(r+s)+2b=-b+2b=b$ and product $\begin{gathered} (ar+b)(as+b)\\ =a^2rs+ab(r+s)+b^2\\ =ac. \end{gathered}$ Therefore their monic equation is $x^2-bx+ac=0.$

Thus, the correct answer is B.

30.

若 $\log_{10}2=a$ 且 $\log_{10}3=b$ ，则 $\log_5 12$ 等于：

If $\log_{10}2=a$ and $\log_{10}3=b,$ then $\log_5 12$ equals:

$\dfrac{a+b}{a+1}$

$\dfrac{2a+b}{a+1}$

$\dfrac{a+2b}{1+a}$

$\dfrac{2a+b}{1-a}$

$\dfrac{a+2b}{1-a}$

答案：D

知识点：对数代数变形

难度评级：1280

小提示：

对常用对数使用换底公式

Use the change-of-base formula with common logarithms

大提示：

写出 $12=2^2\cdot3$ 和 $5=\frac{10}{2}$

Write $12=2^2\cdot3$ and $5=\frac{10}{2}$

解答：

由换底公式， $\begin{aligned} \log_5 12 &=\frac{\log12}{\log5}\\ &=\frac{2\log2+\log3} {\log10-\log2}\\ &=\frac{2a+b}{1-a} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

By change of base, $\begin{aligned} \log_5 12 &=\frac{\log12}{\log5}\\ &=\frac{2\log2+\log3} {\log10-\log2}\\ &=\frac{2a+b}{1-a}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

31.

在三角形 $ABC$ 中， $AC:CB$ 为 $3:4$ 。顶点 $C$ 处外角的平分线与 $BA$ 的延长线交于 $P$ （ $A$ 位于 $P$ 与 $B$ 之间）。比值 $PA:AB$ 为：

In triangle $ABC$ the ratio $AC:CB$ is $3:4.$ The bisector of the exterior angle at $C$ intersects $BA$ extended at $P$ ( $A$ is between $P$ and $B$ ). The ratio $PA:AB$ is:

$1:3$

$3:4$

$4:3$

$3:1$

$7:1$

答案：D

知识点：角平分线定理比与比例

难度评级：1300

小提示：

对完整线段 $PA$ 和 $PB$ 应用外角平分线定理

Apply the exterior angle bisector theorem to the full lengths $PA$ and $PB$

大提示：

使用 $PB=PA+AB$

Use $PB=PA+AB$

解答：

由外角平分线定理， $\frac{PA}{PB}=\frac{AC}{CB}=\frac34\text{。}$ 因为 $PB=PA+AB$ ，令 $PA=3t$ 、 $PB=4t$ 。则 $AB=t$ ，所以 $PA:AB=3:1$ 。

所以，正确答案是 D。

The exterior angle bisector theorem gives $\frac{PA}{PB}=\frac{AC}{CB}=\frac34.$ Since $PB=PA+AB,$ write $PA=3t,$ $PB=4t.$ Then $AB=t,$ so $PA:AB=3:1.$

Thus, the correct answer is D.

32.

一个 $n$ 边正多边形内接于半径为 $R$ 的圆。多边形的面积为 $3R^2$ 。则 $n$ 等于：

A regular polygon of $n$ sides is inscribed in a circle of radius $R.$ The area of the polygon is $3R^2.$ Then $n$ equals:

$8$

$10$

$12$

$15$

$18$

答案：C

知识点：正多边形三角学面积分割

难度评级：1300

小提示：

将多边形分成 $n$ 个顶点在圆心的全等三角形

Divide the polygon into $n$ congruent triangles with vertex at the center

大提示：

使用面积 $\frac12nR^2\sin(\frac{360^\circ}{n})$ 检验各选项

Use area $\frac12nR^2\sin(\frac{360^\circ}{n})$ and test the choices

解答：

多边形的面积为 $\frac n2R^2\sin\frac{360^\circ}{n}\text{。}$ 当 $n=12$ 时，它变为 $6R^2\sin30^\circ=3R^2\text{，}$ 符合要求。

因此，正确答案是 C。

The polygon’s area is $\frac n2R^2\sin\frac{360^\circ}{n}.$ For $n=12,$ this becomes $6R^2\sin30^\circ=3R^2,$ as required.

Therefore, the correct answer is C.

33.

方程 $2^{2x}-3^{2y}=55$ 中 $x$ 和 $y$ 均为整数，其解的个数为：

The number of solutions of $2^{2x}-3^{2y}=55,$ in which $x$ and $y$ are integers, is:

$0$

$1$

$2$

$3$

多于三个，但为有限个

more than three, but finite

答案：B

知识点：平方差丢番图方程因数

难度评级：1550

小提示：

将左边按平方差因式分解

Factor the left side as a difference of squares

大提示：

两个正因数的乘积为 $55$ ，且奇偶性相同

The two positive factors multiply to $55$ and have the same parity

解答：

因式分解得 $(2^x-3^y)(2^x+3^y)=55\text{。}$ 首先， $x>0$ 。若 $y\le0$ ，则 $55<4^x\le56$ ，而 $4$ 的整数次幂不可能落在这个范围内。因此 $y>0$ ，两个因数都是正奇整数。因数对 $5$ 、 $11$ 给出 $2^{x+1}=16$ 和 $2\cdot3^y=6$ ，所以 $(x,y)=(3,1)$ 。因数对 $1$ 、 $55$ 则要求 $2^x=28$ ，不可能。因此恰有一个解。

所以，正确答案是 B。

Factor: $(2^x-3^y)(2^x+3^y)=55.$ First, $x>0.$ If $y\le0,$ then $55<4^x\le56,$ which is impossible for an integral power of $4.$ Hence $y>0,$ so both factors are positive odd integers. The factor pair $5,$ $11$ gives $2^{x+1}=16$ and $2\cdot3^y=6,$ so $(x,y)=(3,1).$ The factor pair $1,$ $55$ would require $2^x=28,$ impossible. Hence there is exactly one solution.

Thus, the correct answer is B.

34.

当 $x$ 取区间 $x\ge0$ 中的任意值时，设分式 $\frac{2x+3}{x+2}$ 的所有可能值组成集合 $S$ 。设 $M$ 是 $S$ 的最小上界， $m$ 是 $S$ 的最大下界。于是可以说：

Let $S$ be the set of values assumed by the fraction $\frac{2x+3}{x+2}$ when $x$ is any member of the interval $x\ge0.$ Let $M$ be the least upper bound of $S,$ and let $m$ be the greatest lower bound of $S.$ We may then say:

$m$ 属于 $S$ ，但 $M$ 不属于 $S$

$m$ is in $S,$ but $M$ is not in $S$

$M$ 属于 $S$ ，但 $m$ 不属于 $S$

$M$ is in $S,$ but $m$ is not in $S$

$m$ 和 $M$ 都属于 $S$

both $m$ and $M$ are in $S$

$m$ 和 $M$ 都不属于 $S$

neither $m$ nor $M$ is in $S$

$M$ 在 $S$ 内外都不存在

$M$ does not exist either in or outside $S$

答案：A

知识点：函数不等式极限情形界定

难度评级：1500

小提示：

将分式改写为 $2-\frac1{x+2}$

Rewrite the fraction as $2-\frac1{x+2}$

大提示：

求出左端点的值，并考察 $x$ 增大时的极限

Evaluate the lower endpoint and examine the limit as $x$ increases

解答：

有 $\frac{2x+3}{x+2}=2-\frac1{x+2}\text{。}$ 当 $x\ge0$ 时，该值从 $\frac{3}{2}$ 递增并趋近 $2$ ，但不等于 $2$ 。因此 $S=[\frac32,2)$ ，其最大下界 $m=\frac{3}{2}$ 属于 $S$ ，而最小上界 $M=2$ 不属于其中。

因此，正确答案是 A。

We have $\frac{2x+3}{x+2}=2-\frac1{x+2}.$ For $x\ge0,$ this increases from $\frac{3}{2}$ toward $2$ without reaching $2.$ Thus $S=[\frac32,2),$ so its greatest lower bound $m=\frac{3}{2}$ belongs to $S,$ while its least upper bound $M=2$ does not.

Therefore, the correct answer is A.

35.

将数 $695$ 用阶乘进制表示，即 $\begin{aligned} 695={}&a_1+a_2\cdot2!+a_3\cdot3!\\ &+\cdots+a_n\cdot n! \end{aligned}\text{，}$ 其中 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $a_3$ 、 $\ldots$ 、 $a_n$ 是满足 $0\le a_k\le k$ 的整数，且 $n!$ 表示 $n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1$ 。求 $a_4$ 。

The number $695$ is to be written with a factorial base of numeration, that is, $\begin{aligned} 695={}&a_1+a_2\cdot2!+a_3\cdot3!\\ &+\cdots+a_n\cdot n!, \end{aligned}$ where $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots,$ $a_n$ are integers such that $0\le a_k\le k,$ and $n!$ means $n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1.$ Find $a_4.$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：D

知识点：进制阶乘

难度评级：1500

小提示：

从不超过 $695$ 的最大阶乘开始

Begin with the largest factorial not exceeding $695$

大提示：

去掉 $5!$ 的贡献后，用余数除以 $4!$

After removing the $5!$ contribution, divide the remainder by $4!$

解答：

因为 $5!=120$ ， $695=5\cdot120+95\text{。}$ 接着 $4!=24$ ，且 $95=3\cdot24+23$ 。因此系数 $a_4$ 为 $3$ 。

所以，正确答案是 D。

Since $5!=120,$ $695=5\cdot120+95.$ Next $4!=24,$ and $95=3\cdot24+23.$ Therefore the coefficient $a_4$ is $3.$

Thus, the correct answer is D.

36.

在三角形 $ABC$ 中，从 $A$ 引出的中线垂直于从 $B$ 引出的中线。若 $BC=7$ 且 $AC=6$ ，求 $AB$ 的长度。

In triangle $ABC$ the median from $A$ is perpendicular to the median from $B.$ If $BC=7$ and $AC=6,$ find the length of $AB.$

$4$

$\sqrt{17}$

$4.25$

$2\sqrt5$

$4.5$

答案：B

知识点：中线（几何）向量坐标几何

难度评级：1710

小提示：

将 $A$ 置于原点，用向量表示 $B$ 和 $C$

Put $A$ at the origin and represent $B$ and $C$ by vectors

大提示：

写出两条中线的方向向量，并令其点积为零

Write direction vectors for the two medians and set their dot product to zero

解答：

令 $A=\mathbf0$ 、 $B=\mathbf b$ 、 $C=\mathbf c$ ，其中 $|\mathbf b|=\ell$ 、 $|\mathbf c|=6$ ，且 $|\mathbf c-\mathbf b|=7$ 。从 $A$ 和 $B$ 引出的中线方向分别为 $\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}$ 和 $\frac{\mathbf c}{2}-\mathbf b$ 。其点积为零，故 $(\mathbf b+\mathbf c)\mathbin{\cdot}(\mathbf c-2\mathbf b)=0\text{。}$ 使用 $\mathbf b\mathbin{\cdot}\mathbf c=\frac{\ell^2+36-49}{2}$ ，化简得 $\ell^2=17$ 。所以 $AB=\sqrt{17}$ 。

因此，正确答案是 B。

Let $A=\mathbf0,$ $B=\mathbf b,$ and $C=\mathbf c,$ with $|\mathbf b|=\ell,$ $|\mathbf c|=6,$ and $|\mathbf c-\mathbf b|=7.$ The median directions are $\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}$ from $A$ and $\frac{\mathbf c}{2}-\mathbf b$ from $B.$ Their dot product is zero, so $(\mathbf b+\mathbf c)\mathbin{\cdot}(\mathbf c-2\mathbf b)=0.$ Using $\mathbf b\mathbin{\cdot}\mathbf c=\frac{\ell^2+36-49}{2},$ this simplifies to $\ell^2=17.$ Hence $AB=\sqrt{17}.$

Therefore, the correct answer is B.

37.

在全程为 $d$ 码的匀速赛跑中， $A$ 可领先 $B$ $20$ 码， $B$ 可领先 $C$ $10$ 码，且 $A$ 可领先 $C$ $28$ 码。则以码为单位的 $d$ 等于：

In racing over a distance $d$ at uniform speed, $A$ can beat $B$ by $20$ yards, $B$ can beat $C$ by $10$ yards, and $A$ can beat $C$ by $28$ yards. Then $d,$ in yards, equals:

无法由已知信息确定

not determined by the given information

$58$

$100$

$116$

$120$

答案：C

知识点：路程、速度与时间比与比例分式方程

难度评级：1550

小提示：

将每个领先距离转化为速度比

Translate each winning margin into a ratio of speeds

大提示：

将 $\frac{v_B}{v_A}$ 与 $\frac{v_C}{v_B}$ 相乘得到 $\frac{v_C}{v_A}$

Multiply the ratios $\frac{v_B}{v_A}$ and $\frac{v_C}{v_B}$ to get $\frac{v_C}{v_A}$

解答：

由领先距离得 $\begin{aligned} \frac{v_B}{v_A}&=\frac{d-20}{d},\\ \frac{v_C}{v_B}&=\frac{d-10}{d},\\ \frac{v_C}{v_A}&=\frac{d-28}{d} \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\frac{(d-20)(d-10)}{d^2}=\frac{d-28}{d}\text{。}$ 展开并化简得 $2d=200$ ，所以 $d=100$ 。

所以，正确答案是 C。

The margins give $\begin{aligned} \frac{v_B}{v_A}&=\frac{d-20}{d},\\ \frac{v_C}{v_B}&=\frac{d-10}{d},\\ \frac{v_C}{v_A}&=\frac{d-28}{d}. \end{aligned}$ Therefore $\frac{(d-20)(d-10)}{d^2}=\frac{d-28}{d}.$ Expanding and simplifying yields $2d=200,$ so $d=100.$

Thus, the correct answer is C.

38.

三角形 $ABC$ 内接于半径为 $r$ 的半圆，且其底边 $AB$ 与直径 $AB$ 重合。点 $C$ 不与 $A$ 或 $B$ 重合。令 $s=AC+BC$ 。则对于 $C$ 的所有允许位置：

Triangle $ABC$ is inscribed in a semicircle of radius $r$ so that its base $AB$ coincides with diameter $AB.$ Point $C$ does not coincide with either $A$ or $B.$ Let $s=AC+BC.$ Then, for all permissible positions of $C:$

$s^2\le8r^2$

$s^2=8r^2$

$s^2\ge8r^2$

$s^2\le4r^2$

$s^2=4r^2$

答案：A

知识点：圆周角直角三角形柯西-施瓦茨不等式

难度评级：1300

小提示：

直径所对的圆周角是直角

The angle subtended by the diameter is a right angle

大提示：

若两条直角边为 $p$ 和 $q$ ，比较 $(p+q)^2$ 与 $2(p^2+q^2)$

If the legs are $p$ and $q,$ compare $(p+q)^2$ with $2(p^2+q^2)$

解答：

由泰勒斯定理， $ABC$ 在 $C$ 处为直角。令 $p=AC$ 、 $q=BC$ 。则 $p^2+q^2=AB^2=4r^2\text{。}$ 因为 $(p-q)^2\ge0$ ，所以 $2pq\le p^2+q^2$ 。因此 $s^2=(p+q)^2\le2(p^2+q^2)=8r^2\text{。}$

所以，正确答案是 A。

By Thales’ theorem, $ABC$ is right at $C.$ Put $p=AC$ and $q=BC.$ Then $p^2+q^2=AB^2=4r^2.$ Since $(p-q)^2\ge0,$ we have $2pq\le p^2+q^2.$ Therefore $s^2=(p+q)^2\le2(p^2+q^2)=8r^2.$

Thus, the correct answer is A.

39.

在边长为 $1$ 的正方形内部或边界上任取五个点。设 $a$ 是满足下述性质的最小数：从这五点中总能选出一对，使其距离小于或等于 $a$ 。则 $a$ 为：

Any five points are taken inside or on a square with side length $1.$ Let $a$ be the smallest possible number with the property that it is always possible to select one pair of points from these five such that the distance between them is equal to or less than $a.$ Then $a$ is:

$\dfrac{\sqrt3}{3}$

$\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\dfrac{2\sqrt2}{3}$

$1$

$\sqrt2$

答案：B

知识点：抽屉原理极端原理正方形（几何）

难度评级：1670

小提示：

将单位正方形分成四个全等小正方形

Partition the unit square into four congruent smaller squares

大提示：

为证明界可达到，寻找使最近点对距离达到该界的五个点

To prove sharpness, look for five points whose closest-pair distance reaches the bound

解答：

将正方形分成四个边长为 $\frac{1}{2}$ 的小正方形。五点中有两点落在同一小正方形内，所以它们的距离至多为其对角线 $\frac{\sqrt2}{2}$ 。在四个顶点和中心各放一点可以达到此界：此时最短距离为 $\frac{\sqrt2}{2}$ 。因此所求最小保证值是 $\frac{\sqrt2}{2}$ 。

因此，正确答案是 B。

Divide the square into four squares of side $\frac{1}{2}.$ Two of the five points lie in the same small square, so their distance is at most its diagonal, $\frac{\sqrt2}{2}.$ This bound is attainable by placing points at the four corners and the center: the shortest distance is then $\frac{\sqrt2}{2}.$ Hence the least guaranteed value is $\frac{\sqrt2}{2}.$

Therefore, the correct answer is B.

40.

若 $5x+12y=60$ ，求 $\sqrt{x^2+y^2}$ 的最小值。

Find the minimum value of $\sqrt{x^2+y^2}$ if $5x+12y=60.$

$\dfrac{60}{13}$

$\dfrac{13}{5}$

$\dfrac{13}{12}$

$1$

$0$

答案：A

知识点：距离公式柯西-施瓦茨不等式最优化

难度评级：1300

小提示：

将 $\sqrt{x^2+y^2}$ 解释为到原点的距离

Interpret $\sqrt{x^2+y^2}$ as distance from the origin

大提示：

对 $5x+12y$ 应用柯西-施瓦茨不等式

Apply Cauchy-Schwarz to $5x+12y$

解答：

由柯西-施瓦茨不等式， $\begin{aligned} 60&=5x+12y\\ &\le\sqrt{5^2+12^2}\\ &\qquad\cdot\sqrt{x^2+y^2}\\ &=13\sqrt{x^2+y^2} \end{aligned}\text{。}$ 因此该距离至少为 $\frac{60}{13}$ 。当 $(x,y)$ 与 $(5,12)$ 成比例时取等号，所以最小值为 $\frac{60}{13}$ 。

因此，正确答案是 A。

By Cauchy-Schwarz, $\begin{aligned} 60&=5x+12y\\ &\le\sqrt{5^2+12^2}\\ &\qquad\cdot\sqrt{x^2+y^2}\\ &=13\sqrt{x^2+y^2}. \end{aligned}$ Thus the distance is at least $\frac{60}{13}.$ Equality occurs when $(x,y)$ is proportional to $(5,12),$ so the minimum is $\frac{60}{13}.$

Therefore, the correct answer is A.