Question

三角形 $ABC$ 内接于半径为 $r$ 的半圆，且其底边 $AB$ 与直径 $AB$ 重合。点 $C$ 不与 $A$ 或 $B$ 重合。令 $s=AC+BC$ 。则对于 $C$ 的所有允许位置：

Triangle $ABC$ is inscribed in a semicircle of radius $r$ so that its base $AB$ coincides with diameter $AB.$ Point $C$ does not coincide with either $A$ or $B.$ Let $s=AC+BC.$ Then, for all permissible positions of $C:$

$s^2\le8r^2$

$s^2=8r^2$

$s^2\ge8r^2$

$s^2\le4r^2$

$s^2=4r^2$

答案：A

知识点：圆周角直角三角形柯西-施瓦茨不等式

难度评级：1300

小提示：

直径所对的圆周角是直角

The angle subtended by the diameter is a right angle

大提示：

若两条直角边为 $p$ 和 $q$ ，比较 $(p+q)^2$ 与 $2(p^2+q^2)$

If the legs are $p$ and $q,$ compare $(p+q)^2$ with $2(p^2+q^2)$

解答：

由泰勒斯定理， $ABC$ 在 $C$ 处为直角。令 $p=AC$ 、 $q=BC$ 。则 $p^2+q^2=AB^2=4r^2\text{。}$ 因为 $(p-q)^2\ge0$ ，所以 $2pq\le p^2+q^2$ 。因此 $s^2=(p+q)^2\le2(p^2+q^2)=8r^2\text{。}$

所以，正确答案是 A。

By Thales’ theorem, $ABC$ is right at $C.$ Put $p=AC$ and $q=BC.$ Then $p^2+q^2=AB^2=4r^2.$ Since $(p-q)^2\ge0,$ we have $2pq\le p^2+q^2.$ Therefore $s^2=(p+q)^2\le2(p^2+q^2)=8r^2.$

Thus, the correct answer is A.

1961 AMC 12 第 38 题

答案：A

难度评级：1300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 38 题