Question

给定一个集合 $S$ ，其中含有两种未定义的元素“pib”和“maa”，并给出以下四条公设：

$\mathrm{P}_1$ ：每个 pib 都是若干 maa 的集合。

$\mathrm{P}_2$ ：任意两个不同的 pib 恰好共有一个 maa。

$\mathrm{P}_3$ ：每个 maa 恰好属于两个 pib。

$\mathrm{P}_4$ ：恰好有四个 pib。

考虑以下三个定理：

$\mathrm{T}_1$ ：恰好有六个 maa。

$\mathrm{T}_2$ ：每个 pib 中恰好有三个 maa。

$\mathrm{T}_3$ ：对每个 maa，恰好有另一个 maa 不与它同属任何一个 pib。

可以由这些公设推出的定理是：

Given a set $S$ consisting of two undefined elements “pib” and “maa,” and the four postulates:

$\mathrm{P}_1:$ Every pib is a collection of maas.

$\mathrm{P}_2:$ Any two distinct pibs have one and only one maa in common.

$\mathrm{P}_3:$ Every maa belongs to two and only two pibs.

$\mathrm{P}_4:$ There are exactly four pibs.

Consider the three theorems:

$\mathrm{T}_1:$ There are exactly six maas.

$\mathrm{T}_2:$ There are exactly three maas in each pib.

$\mathrm{T}_3:$ For each maa there is exactly one other maa not in the same pib with it.

The theorems which are deducible from the postulates are:

仅 $\mathrm{T}_3$

$\mathrm{T}_3$ only

仅 $\mathrm{T}_2$ 和 $\mathrm{T}_3$

$\mathrm{T}_2$ and $\mathrm{T}_3$ only

仅 $\mathrm{T}_1$ 和 $\mathrm{T}_2$

$\mathrm{T}_1$ and $\mathrm{T}_2$ only

仅 $\mathrm{T}_1$ 和 $\mathrm{T}_3$

$\mathrm{T}_1$ and $\mathrm{T}_3$ only

全部三个

all

答案：E

知识点：基本计数图论逻辑推理

难度评级：2030

小提示：

将四个 pib 标记为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$

Label the four pibs $1,$ $2,$ $3,$ and $4$

大提示：

每个 maa 对应一对无序的 pib

Each maa corresponds to an unordered pair of pibs

解答：

将四个 pib 标记为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 。由 $\mathrm P_2$ 和 $\mathrm P_3$ 可知，每个 maa 恰好是一对无序 pib 所共有的 maa。因此共有 $\binom42=6$ 个 maa，这就证明了 $\mathrm T_1$ 。

固定一个 pib $i$ ，它含有三个形如 $ij$ 的 maa，其中 $j\ne i$ ，这证明了 $\mathrm T_2$ 。对于 maa $ij$ ，唯一一个与它不共属任一 pib 的 maa，就是属于其余两个 pib 所成之互补对的 maa，这证明了 $\mathrm T_3$ 。因此三个定理都能推出。

因此，正确答案是 E。

Label the four pibs $1,$ $2,$ $3,$ and $4.$ By $\mathrm P_2$ and $\mathrm P_3,$ every maa is exactly the common maa of one unordered pair of pibs. Thus there are $\binom42=6$ maas, proving $\mathrm T_1.$

A fixed pib $i$ contains the three maas $ij$ with $j\ne i,$ proving $\mathrm T_2.$ For maa $ij,$ the unique maa sharing neither pib is the one belonging to the complementary pair of pibs, proving $\mathrm T_3.$ All three follow.

Therefore, the correct answer is E.

1967 AMC 12 第 38 题

答案：E

难度评级：2030

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 38 题