Question

在图中， $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 是等腰三角形 $ABC$ 的两条等长边，其中内接等边三角形 $DEF$ 。记角 $BFD$ 为 $a$ 、角 $ADE$ 为 $b$ 、角 $FEC$ 为 $c$ 。则：

In this diagram $\overline{AB}$ and $\overline{AC}$ are the equal sides of an isosceles triangle $ABC,$ in which is inscribed equilateral triangle $DEF.$ Designate angle $BFD$ by $a,$ angle $ADE$ by $b,$ and angle $FEC$ by $c.$ Then:

$b=\dfrac{a+c}{2}$

$b=\dfrac{a-c}{2}$

$a=\dfrac{b-c}{2}$

$a=\dfrac{b+c}{2}$

以上都不是

none of these

答案：D

知识点：导角等腰三角形等边三角形

难度评级：2000

小提示：

设 $ABC$ 的每个底角为 $\theta$

Let each base angle of $ABC$ be $\theta$

大提示：

利用等边三角形的 $60^\circ$ 角，比较 $DF$ 、 $DE$ 与 $EF$ 的方向

Compare the directions of $DF,$ $DE,$ and $EF$ using the $60^\circ$ angles of the equilateral triangle

解答：

设 $ABC$ 的每个底角为 $\theta$ 。从 $BC$ 的方向量起，直线 $FD$ 的方向角为 $180^\circ-a$ ，所以由等边三角形条件， $DE$ 的方向角为 $60^\circ-a$ 。在 $D$ 点处， $b=\theta-(60^\circ-a)=\theta-60^\circ+a\text{。}$ 同样，在 $E$ 点追角可得 $c=60^\circ+a-\theta\text{。}$ 两式相加，得到 $b+c=2a$ 。

因此 $a=\frac{b+c}{2}$ ，正确答案是 D。

Let each base angle of $ABC$ be $\theta.$ Measured from the direction $BC,$ the line $FD$ has direction $180^\circ-a,$ so the equilateral condition makes $DE$ have direction $60^\circ-a.$ At $D,$ $b=\theta-(60^\circ-a)=\theta-60^\circ+a.$ Similarly, angle chasing at $E$ gives $c=60^\circ+a-\theta.$ Adding these equations yields $b+c=2a.$

Therefore $a=\frac{b+c}{2},$ and the correct answer is D.

1960 AMC 12 第 38 题

答案：D

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 38 题