Question

在三角形 $ABC$ 中，分别作到边 $BC$ 与 $AB$ 的中线 $AM$ 和 $CN$ ，二者交于点 $O$ 。点 $P$ 是边 $AC$ 的中点，且 $MP$ 与 $CN$ 交于 $Q$ 。若三角形 $OMQ$ 的面积为 $n$ ，则三角形 $ABC$ 的面积为：

In triangle $ABC$ the medians $AM$ and $CN$ to sides $BC$ and $AB,$ respectively, intersect in point $O.$ $P$ is the midpoint of side $AC,$ and $MP$ intersects $CN$ in $Q.$ If the area of triangle $OMQ$ is $n,$ then the area of triangle $ABC$ is:

$16n$

$18n$

$21n$

$24n$

$27n$

答案：D

知识点：面积比重心坐标几何中线（几何）

难度评级：1650

小提示：

使用仿射模型 $A=(0,0)$ 、 $B=(2,0)$ 、 $C=(0,2)$

Use an affine model $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ and $C=(0,2)$

大提示：

求出 $M,O,P,Q$ ，再比较两个面积

Find $M,O,P,Q$ and compare the two areas

解答：

面积比在仿射变换下不变，所以取 $A=(0,0)$ 、 $B=(2,0)$ ，且 $C=(0,2)$ 。则 $\begin{gathered} M=(1,1),\\ O=(\frac{2}{3},\frac{2}{3}),\\ P=(0,1) \end{gathered}\text{。}$ 直线 $MP$ 为 $y=1$ ，它与中线 $CN$ 交于 $Q=(\frac{1}{2},1)$ 。因此 $[OMQ]=\frac{1}{12}$ ，而 $[ABC]=2$ 。二者之比为 $24$ ，所以 $[ABC]=24n$ 。

因此，正确答案是 D。

Area ratios are affine-invariant, so take $A=(0,0),$ $B=(2,0),$ and $C=(0,2).$ Then $\begin{gathered} M=(1,1),\\ O=(\frac{2}{3},\frac{2}{3}),\\ P=(0,1). \end{gathered}$ Line $MP$ is $y=1,$ and it meets median $CN$ at $Q=(\frac{1}{2},1).$ Thus $[OMQ]=\frac{1}{12},$ while $[ABC]=2.$ Their ratio is $24,$ so $[ABC]=24n.$

Therefore, the correct answer is D.

1966 AMC 12 第 38 题

答案：D

难度评级：1650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 38 题