Question

在 $R_1$ 进制中，分数 $F_1$ 展开为 $0.373737\ldots$ ，分数 $F_2$ 展开为 $0.737373\ldots$ 。在 $R_2$ 进制中，分数 $F_1$ 展开为 $0.252525\ldots$ ，而分数 $F_2$ 展开为 $0.525252\ldots$ 。将 $R_1$ 与 $R_2$ 都写成十进制后，它们的和为：

In base $R_1$ the expanded fraction $F_1$ becomes $0.373737\ldots$ and the expanded fraction $F_2$ becomes $0.737373\ldots.$ In base $R_2$ fraction $F_1,$ when expanded, becomes $0.252525\ldots,$ while fraction $F_2$ becomes $0.525252\ldots.$ The sum of $R_1$ and $R_2,$ each written in base ten, is:

$24$

$22$

$21$

$20$

$19$

答案：E

知识点：进制循环小数方程组

难度评级：1990

小提示：

$R$ 进制中的循环数位对 $ab$ 等于 $\frac{aR+b}{R^2-1}$

A repeating pair $ab$ in base $R$ equals $\frac{aR+b}{R^2-1}$

大提示：

先将关于 $F_1$ 、 $F_2$ 的两个方程相加，再相减

Add the equations for $F_1$ and $F_2,$ then subtract them

解答：

两种表示给出 $\begin{aligned} F_1&=\frac{3R_1+7}{R_1^2-1}\\ &=\frac{2R_2+5}{R_2^2-1},\\ F_2&=\frac{7R_1+3}{R_1^2-1}\\ &=\frac{5R_2+2}{R_2^2-1} \end{aligned}\text{。}$ 相加得 $\frac{10}{R_1-1}=\frac{7}{R_2-1}$ ，即 $10R_2-7R_1=3$ 。相减得 $\frac{4}{R_1+1}=\frac{3}{R_2+1}$ ，即 $4R_2-3R_1=-1$ 。解得 $R_1=11$ 、 $R_2=8$ ，它们的和为 $19$ 。

因此，正确答案是 E。

The two descriptions give $\begin{aligned} F_1&=\frac{3R_1+7}{R_1^2-1}\\ &=\frac{2R_2+5}{R_2^2-1},\\ F_2&=\frac{7R_1+3}{R_1^2-1}\\ &=\frac{5R_2+2}{R_2^2-1}. \end{aligned}$ Adding yields $\frac{10}{R_1-1}=\frac{7}{R_2-1},$ or $10R_2-7R_1=3.$ Subtracting yields $\frac{4}{R_1+1}=\frac{3}{R_2+1},$ or $4R_2-3R_1=-1.$ Solving gives $R_1=11,$ $R_2=8,$ whose sum is $19.$

Therefore, the correct answer is E.

1966 AMC 12 第 39 题

答案：E

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 39 题