Question

一名工头看到检验员用一个 $2$ 英寸塞规和一个 $1$ 英寸塞规检查一个直径为 $3$ 英寸的孔，便建议再插入两个量规，以确保它们恰好紧密贴合。若两个新量规相同，则各自的直径 $d$ 精确到百分之一英寸为：

A foreman noticed an inspector checking a $3$ -inch hole with a $2$ -inch plug and a $1$ -inch plug and suggested that two more gauges be inserted to be sure that the fit was snug. If the new gauges are alike, then the diameter $d$ of each, to the nearest hundredth of an inch, is:

$0.87$

$0.86$

$0.83$

$0.75$

$0.71$

答案：B

知识点：相切圆坐标几何估算

难度评级：2410

小提示：

使用半径 $\frac{3}{2}$ 、 $1$ 和 $\frac{1}{2}$ ，并设一个新量规的半径为 $r$

Use radii $\frac{3}{2},$ $1,$ and $\frac{1}{2},$ and let a new gauge have radius $r$

大提示：

若其圆心为 $(u,v)$ ，将三个相切距离方程两两相减

If its center is $(u,v)$ , subtract its three tangency-distance equations

解答：

将孔的圆心置于原点。直径为 $2$ 英寸和 $1$ 英寸的塞规圆心分别为 $(0,-\frac{1}{2})$ 和 $(0,1)$ 。设一个新量规的半径为 $r$ ，圆心为 $(u,v)$ 。与两个塞规相切给出 $\begin{gathered} u^2+(v+\frac{1}{2})^2=(1+r)^2,\\ u^2+(v-1)^2=(\frac{1}{2}+r)^2 \end{gathered}\text{，}$ 而与孔内切给出 $u^2+v^2=(\frac{3}{2}-r)^2$ 。将方程两两相减得 $v=\frac12+\frac r3$ ，且 $v=\frac32-2r$ 。因此 $r=\frac{3}{7}$ ，所以 $d=2r=\frac{6}{7}\approx0.86$ 。

因此，正确答案是 B。

Place the hole’s center at the origin. The $2$ -inch and $1$ -inch plug centers are $(0,-\frac{1}{2})$ and $(0,1).$ Let a new gauge have radius $r$ and center $(u,v).$ Tangency to the two plugs gives $\begin{gathered} u^2+(v+\frac{1}{2})^2=(1+r)^2,\\ u^2+(v-1)^2=(\frac{1}{2}+r)^2, \end{gathered}$ while internal tangency to the hole gives $u^2+v^2=(\frac{3}{2}-r)^2.$ Subtracting pairs of equations yields $v=\frac12+\frac r3$ and $v=\frac32-2r.$ Thus $r=\frac{3}{7},$ so $d=2r=\frac{6}{7}\approx0.86.$

Therefore, the correct answer is B.

1965 AMC 12 第 39 题

答案：B

难度评级：2410

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 39 题