1965 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

满足方程 $2^{2x^2-7x+5}=1$ 的实数 $x$ 的个数为：

The number of real values of $x$ satisfying the equation $2^{2x^2-7x+5}=1$ is:

$0$

$1$

$2$

$4$

大于 $4$

more than $4$

知识点：指数二次方程因式分解

难度评级：1080

小提示：

不等于 $1$ 的正底数只有在指数为 $0$ 时幂值才为 $1$

A positive base other than $1$ has value $1$ only at exponent $0$

大提示：

解方程 $2x^2-7x+5=0$

Solve $2x^2-7x+5=0$

解答：

由于底数为 $2$ ，指数必须为零。因式分解得 $\begin{gathered} 2x^2-7x+5=0,\\ (2x-5)(x-1)=0 \end{gathered}\text{。}$ 因此 $x=\frac{5}{2}$ 或 $x=1$ ，共有两个实数解。

因此，正确答案是 C。

Since the base is $2,$ the exponent must be zero. Factoring gives $\begin{gathered} 2x^2-7x+5=0,\\ (2x-5)(x-1)=0. \end{gathered}$ Thus $x=\frac{5}{2}$ or $x=1,$ giving two real values.

Therefore, the correct answer is C.

2.

一个正六边形内接于圆。六边形一边的长度与该边所截较短圆弧的长度之比为：

A regular hexagon is inscribed in a circle. The ratio of the length of a side of the hexagon to the length of the shorter of the arcs intercepted by the side is:

$1:1$

$1:6$

$1:\pi$

$3:\pi$

$6:\pi$

知识点：正多边形弧圆周长比与比例

难度评级：1520

小提示：

内接正六边形的边长等于圆的半径

Each side of an inscribed regular hexagon equals the circle’s radius

大提示：

较短圆弧的长度是圆周长的六分之一

The shorter arc is one sixth of the circumference

解答：

若半径为 $r$ ，则六边形的边长为 $r$ 。该边所截劣弧的长度为 $\frac{2\pi r}{6}=\frac{\pi r}{3}$ 。所求比为 $r:(\frac{\pi r}{3})=3:\pi$ 。

因此，正确答案是 D。

If the radius is $r,$ the hexagon side is $r.$ Its intercepted minor arc has length $\frac{2\pi r}{6}=\frac{\pi r}{3}.$ The ratio is $r:(\frac{\pi r}{3})=3:\pi.$

Therefore, the correct answer is D.

3.

表达式 $81^{-(2^{-2})}$ 的值与下列哪一项相同：

The expression $81^{-(2^{-2})}$ has the same value as:

$\dfrac1{81}$

$\dfrac13$

$3$

$81$

$81^4$

知识点：指数根式运算顺序

难度评级：1350

小提示：

先求指数 $2^{-2}$ 的值

Evaluate the exponent $2^{-2}$ first

大提示：

将 $81$ 写成 $3^4$

Write $81$ as $3^4$

解答：

由于 $2^{-2}=\frac{1}{4}$ ， $\begin{aligned} 81^{-(2^{-2})} &=81^{-\frac{1}{4}}\\ &=(3^4)^{-\frac{1}{4}}=\frac13 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

Since $2^{-2}=\frac{1}{4},$ $\begin{aligned} 81^{-(2^{-2})} &=81^{-\frac{1}{4}}\\ &=(3^4)^{-\frac{1}{4}}=\frac13. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

4.

直线 $l_2$ 与直线 $l_1$ 相交，直线 $l_3$ 与 $l_1$ 平行。这三条直线互不相同且位于同一平面内。到三条直线距离均相等的点共有：

Line $l_2$ intersects line $l_1$ and line $l_3$ is parallel to $l_1.$ The three lines are distinct and lie in a plane. The number of points equidistant from all three lines is:

$0$

$1$

$2$

$4$

$8$

知识点：平行线角平分线交点计数

难度评级：1530

小提示：

到两条平行线距离相等的点位于两线之间的平行中线上

Points equidistant from the two parallel lines lie on their midway parallel

大提示：

将这条平行中线分别与 $l_1$ 和 $l_2$ 的两条角平分线相交

Intersect that midway line with the two angle bisectors of $l_1$ and $l_2$

解答：

到平行线 $l_1$ 和 $l_3$ 距离相等的点位于两线之间唯一的平行中线上。到相交直线 $l_1$ 和 $l_2$ 距离相等的点位于它们的两条角平分线之一上。每条角平分线都与平行中线相交一次，因此共有两个点。

因此，正确答案是 C。

Points equidistant from parallel lines $l_1$ and $l_3$ lie on the unique line midway between them. Points equidistant from intersecting lines $l_1$ and $l_2$ lie on either of their two angle bisectors. Each angle bisector meets the midway parallel once, giving two points.

Therefore, the correct answer is C.

5.

将循环小数 $0.363636\ldots$ 写成最简分数后，分子与分母之和为：

When the repeating decimal $0.363636\ldots$ is written in simplest fractional form, the sum of the numerator and denominator is:

$15$

$45$

$114$

$135$

$150$

知识点：循环小数分数

难度评级：1260

小提示：

将这个小数乘以 $100$ ，再减去原数

Multiply the decimal by $100$ and subtract the original number

大提示：

约分 $\frac{36}{99}$

Simplify $\frac{36}{99}$

解答：

令 $z=0.363636\ldots$ 。则 $100z-z=36$ ，所以 $z=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}$ 。所求的和为 $4+11=15$ 。

因此，正确答案是 A。

Let $z=0.363636\ldots.$ Then $100z-z=36,$ so $z=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}.$ The requested sum is $4+11=15.$

Therefore, the correct answer is A.

6.

若 $10^{\log_{10}9}=8x+5$ ，则 $x$ 等于：

If $10^{\log_{10}9}=8x+5,$ then $x$ equals:

$0$

$\dfrac12$

$\dfrac58$

$\dfrac98$

$\dfrac{2\log_{10}3-5}{8}$

知识点：对数一次方程

难度评级：1280

小提示：

利用 $10^{\log_{10}9}=9$

Use $10^{\log_{10}9}=9$

大提示：

解所得的一次方程 $9=8x+5$

Solve the resulting linear equation $9=8x+5$

解答：

指数函数与对数函数互相抵消，所以 $10^{\log_{10}9}=9$ 。因此 $8x+5=9$ ，从而 $x=\frac{1}{2}$ 。

因此，正确答案是 B。

The exponential and logarithm cancel, so $10^{\log_{10}9}=9.$ Thus $8x+5=9,$ giving $x=\frac{1}{2}.$

Therefore, the correct answer is B.

7.

方程 $ax^2+bx+c=0$ 各根的倒数之和为：

The sum of the reciprocals of the roots of the equation $ax^2+bx+c=0$ is:

$\dfrac1a+\dfrac1b$

$-\dfrac cb$

$\dfrac bc$

$-\dfrac ab$

$-\dfrac bc$

知识点：二次方程韦达定理代数变形

难度评级：1510

小提示：

若两根为 $r,s$ ，则 $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{r+s}{rs}$

If the roots are $r,s,$ then $\frac{1}{r}+\frac{1}{s}=\frac{r+s}{rs}$

大提示：

利用 $r+s=-\frac{b}{a}$ 和 $rs=\frac{c}{a}$

Use $r+s=-\frac{b}{a}$ and $rs=\frac{c}{a}$

解答：

根据韦达定理， $r+s=-\frac{b}{a}$ ，且 $rs=\frac{c}{a}$ 。因此 $\begin{aligned} \frac1r+\frac1s &=\frac{r+s}{rs}\\ &=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac bc \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

By Vieta’s formulas, $r+s=-\frac{b}{a}$ and $rs=\frac{c}{a}.$ Therefore $\begin{aligned} \frac1r+\frac1s &=\frac{r+s}{rs}\\ &=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac bc. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

8.

一个三角形的一边长为 $18$ 英寸。在三角形内作一条与此边平行的线段，所形成梯形的面积是原三角形面积的三分之一。这条线段的长度（英寸）为：

One side of a given triangle is $18$ inches. Inside the triangle a line segment is drawn parallel to this side forming a trapezoid whose area is one-third of that of the triangle. The length of this segment, in inches, is:

$6\sqrt6$

$9\sqrt2$

$12$

$6\sqrt3$

$9$

知识点：相似面积比平行线

难度评级：1580

小提示：

线段上方小三角形的面积是原三角形面积的三分之二

The smaller triangle above the segment has two-thirds of the original area

大提示：

长度比等于面积比的平方根

Linear scale factors are square roots of area scale factors

解答：

梯形占总面积的三分之一，所以较小相似三角形占三分之二。它的长度比为 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ 。因此平行线段的长度为 $18\sqrt{\frac23}=6\sqrt6\text{。}$

因此，正确答案是 A。

The trapezoid occupies one third of the area, so the smaller similar triangle occupies two thirds. Its linear scale factor is $\sqrt{\frac{2}{3}}.$ Hence the parallel segment has length $18\sqrt{\frac23}=6\sqrt6.$

Therefore, the correct answer is A.

9.

当 $c$ 的值为下列哪一项时，抛物线 $y=x^2-8x+c$ 的顶点位于 $x$ 轴上：

The vertex of the parabola $y=x^2-8x+c$ will be a point on the $x$ -axis if the value of $c$ is:

$-16$

$-4$

$4$

$8$

$16$

知识点：抛物线配方法

难度评级：1360

小提示：

对 $x^2-8x+c$ 配方

Complete the square in $x^2-8x+c$

大提示：

顶点的 $y$ 坐标必须等于 $0$

The vertex’s $y$ -coordinate must equal $0$

解答：

配方得 $y=(x-4)^2+c-16\text{。}$ 顶点为 $(4,c-16)$ ，所以当 $c=16$ 时，顶点位于 $x$ 轴上。

因此，正确答案是 E。

Completing the square gives $y=(x-4)^2+c-16.$ The vertex is $(4,c-16),$ so it lies on the $x$ -axis when $c=16.$

Therefore, the correct answer is E.

10.

命题 $x^2-x-6\lt0$ 等价于：

The statement $x^2-x-6\lt0$ is equivalent to the statement:

$-2\lt x\lt3$

$x\gt-2$

$x\lt3$

$x\gt3$ 且 $x\lt-2$

$x\gt3$ and $x\lt-2$

$x\gt3$ 或 $x\lt-2$

$x\gt3$ or $x\lt-2$

知识点：二次方程因式分解不等式

难度评级：1470

小提示：

将 $x^2-x-6$ 因式分解

Factor $x^2-x-6$

大提示：

首项系数为正的二次式在两根之间为负

A positive-leading quadratic is negative between its two roots

解答：

有 $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ 。该乘积恰在两根之间为负，因此 $-2\lt x\lt3$ 。

因此，正确答案是 A。

We have $x^2-x-6=(x-3)(x+2).$ This product is negative exactly between its roots, so $-2\lt x\lt3.$

Therefore, the correct answer is A.

11.

考虑以下命题：

$\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad &(\sqrt{-4})(\sqrt{-16})\\ &=\sqrt{(-4)(-16)} \end{aligned}\text{，}$

$\mathrm{II:}\quad \sqrt{(-4)(-16)}=\sqrt{64}\text{，}$

以及

$\mathrm{III:}\quad \sqrt{64}=8\text{。}$

其中不正确的是：

Consider the statements:

$\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad &(\sqrt{-4})(\sqrt{-16})\\ &=\sqrt{(-4)(-16)}, \end{aligned}$

$\mathrm{II:}\quad \sqrt{(-4)(-16)}=\sqrt{64},$

and

$\mathrm{III:}\quad \sqrt{64}=8.$

Of these the following are incorrect:

没有

none

仅 $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

仅 $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ only

仅 $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

仅 $\mathrm{I}$ 和 $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$ only

知识点：根式复数

难度评级：1500

小提示：

平方根的乘法法则要求被开方数为非负实数

The product rule for square roots requires nonnegative real radicands

大提示：

直接判断命题 II 和 III

Evaluate statements II and III directly

解答：

命题 I 将 $\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ 错误地用于负被开方数；在实数范围内其左边没有定义，而取复数主值时左边等于 $-8$ ，而不是 $8$ 。命题 II 和 III 都能正确化简为 $8$ 。因此只有 I 不正确。

因此，正确答案是 B。

Statement I improperly applies $\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ to negative radicands; over the reals its left side is undefined, and with principal complex roots it equals $-8,$ not $8.$ Statements II and III both correctly simplify to $8.$ Thus only I is incorrect.

Therefore, the correct answer is B.

12.

在三角形 $ABC$ 内作一个菱形，使其一个顶点为 $A$ ，且两条边分别位于 $AB$ 和 $AC$ 上。若 $AC=6$ 英寸， $AB=12$ 英寸，且 $BC=8$ 英寸，则菱形的边长（英寸）为：

A rhombus is inscribed in triangle $ABC$ in such a way that one of its vertices is $A$ and two of its sides lie along $AB$ and $AC.$ If $AC=6$ inches, $AB=12$ inches, and $BC=8$ inches, the side of the rhombus, in inches, is:

$2$

$3$

$3\dfrac12$

$4$

$5$

知识点：菱形相似比与比例

难度评级：1720

小提示：

设菱形边长为 $s$ ；相邻顶点分别位于 $AB$ 的 $\frac{s}{12}$ 位置与 $AC$ 的 $\frac{s}{6}$ 位置

Let the rhombus side be $s$ , with adjacent vertices $\frac{s}{12}$ of the way along $AB$ and $\frac{s}{6}$ along $AC$

大提示：

菱形的对角顶点位于 $BC$ 上，因此它的两个仿射系数之和为 $1$

The opposite rhombus vertex lies on $BC$ , so its two affine coefficients sum to $1$

解答：

以 $A$ 为原点，并设从原点指向 $B,C$ 的向量分别为 $u,v$ 。若菱形边长为 $s$ ，则其对角顶点为 $(\frac{s}{12})u+(\frac{s}{6})v$ 。当这两个系数之和为 $1$ 时，该点位于 $BC$ 上。因此 $\frac{s}{12}+\frac{s}{6}=1\text{，}$ 从而 $s=4$ 。

因此，正确答案是 D。

Use $A$ as the origin and let the vectors to $B,C$ be $u,v.$ If the rhombus side is $s,$ its opposite vertex is $(\frac{s}{12})u+(\frac{s}{6})v.$ A point lies on $BC$ when these coefficients sum to $1.$ Thus $\frac{s}{12}+\frac{s}{6}=1,$ giving $s=4.$

Therefore, the correct answer is D.

13.

设 $n$ 为同时满足 $5y-3x=15$ 和 $x^2+y^2\leq16$ 的数对 $(x,y)$ 的个数。则 $n$ 为：

Let $n$ be the number of number-pairs $(x,y)$ which satisfy $5y-3x=15$ and $x^2+y^2\leq16.$ Then $n$ is:

$0$

$1$

$2$

大于二但有限

more than two, but finite

大于任何有限数

greater than any finite number

知识点：圆距离公式不等式

难度评级：1610

小提示：

该不等式表示以原点为圆心、半径为 $4$ 的圆盘

The inequality describes the disk of radius $4$ centered at the origin

大提示：

比较直线到原点的距离 $\frac{15}{\sqrt{34}}$ 与 $4$

Compare the line’s distance $\frac{15}{\sqrt{34}}$ from the origin with $4$

解答：

该直线到原点的距离为 $\frac{15}{\sqrt{(-3)^2+5^2}}=\frac{15}{\sqrt{34}}\lt4$ 。因此它穿过圆盘 $x^2+y^2\leq16$ 的内部，交集是一条含有无穷多个点的线段。

因此，正确答案是 E。

The line’s distance from the origin is $\frac{15}{\sqrt{(-3)^2+5^2}}=\frac{15}{\sqrt{34}}\lt4.$ It therefore crosses the interior of the disk $x^2+y^2\leq16$ in a segment containing infinitely many points.

Thus, the correct answer is E.

14.

$(x^2-2xy+y^2)^7$ 完全展开后所有数值系数之和为：

The sum of the numerical coefficients in the complete expansion of $(x^2-2xy+y^2)^7$ is:

$0$

$7$

$14$

$128$

$128^2$

知识点：多项式换元法

难度评级：1470

小提示：

令两个变量都等于 $1$ ，即可得到系数和

Set both variables equal to $1$ to obtain the coefficient sum

大提示：

七次幂括号内的表达式变为 $1-2+1$

The expression inside the seventh power becomes $1-2+1$

解答：

令 $x=y=1$ 后，每个单项式都等于 $1$ ，因此所得值就是数值系数之和。这个值为 $(1-2+1)^7=0\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Setting $x=y=1$ makes every monomial equal $1,$ so the value is the sum of the numerical coefficients. It is $(1-2+1)^7=0.$

Therefore, the correct answer is A.

15.

符号 $25_b$ 表示 $b$ 进制中的一个两位数。若数 $52_b$ 是数 $25_b$ 的两倍，则 $b$ 为：

The symbol $25_b$ represents a two-digit number in the base $b.$ If the number $52_b$ is double the number $25_b,$ then $b$ is:

$7$

$8$

$9$

$11$

$12$

知识点：进制位值一次方程

难度评级：1500

小提示：

将 $25_b$ 写成 $2b+5$ ，并将 $52_b$ 写成 $5b+2$

Translate $25_b$ as $2b+5$ and $52_b$ as $5b+2$

大提示：

解方程 $5b+2=2(2b+5)$

Solve $5b+2=2(2b+5)$

解答：

用通常的记法， $25_b=2b+5$ ，且 $52_b=5b+2$ 。因此 $5b+2=2(2b+5)\text{，}$ 所以 $b=8$ 。

因此，正确答案是 B。

In ordinary notation, $25_b=2b+5$ and $52_b=5b+2.$ Thus $5b+2=2(2b+5),$ so $b=8.$

Therefore, the correct answer is B.

16.

设直线 $AC$ 垂直于直线 $CE$ 。连接 $A$ 与 $CE$ 的中点 $D$ ，并连接 $E$ 与 $AC$ 的中点 $B$ 。若 $AD$ 与 $EB$ 相交于点 $F$ ，且 $BC=CD=15$ 英寸，则三角形 $DFE$ 的面积（平方英寸）为：

Let line $AC$ be perpendicular to line $CE.$ Connect $A$ to the midpoint $D$ of $CE,$ and connect $E$ to the midpoint $B$ of $AC.$ If $AD$ and $EB$ intersect in point $F,$ and $BC=CD=15$ inches, then the area of triangle $DFE,$ in square inches, is:

$50$

$50\sqrt2$

$75$

$\dfrac{15}{2}\sqrt{105}$

$100$

知识点：中线（几何）重心坐标几何三角形面积

难度评级：1830

小提示：

因为 $B,D$ 是中点且 $BC=CD=15$ ，所以两条直角边的长度均为 $30$

Since $B,D$ are midpoints and $BC=CD=15,$ both perpendicular legs have length $30$

大提示：

取坐标 $C=(0,0), A=(0,30)$ 和 $E=(30,0)$ ；两条中线交于重心

Use coordinates $C=(0,0), A=(0,30)$ and $E=(30,0)$ ; the two medians meet at the centroid

解答：

取 $C=(0,0),\ A=(0,30)$ 和 $E=(30,0)$ 。则 $B=(0,15)$ ，且 $D=(15,0)$ 。直线 $AD$ 和 $EB$ 是三角形 $ACE$ 的中线，所以它们交于重心 $F=(10,10)$ 。线段 $DE$ 长为 $15$ ，点 $F$ 到其所在直线的距离为 $10$ 。因此 $[DFE]=\frac12(15)(10)=75\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Put $C=(0,0),\ A=(0,30),$ and $E=(30,0).$ Then $B=(0,15)$ and $D=(15,0).$ Lines $AD$ and $EB$ are medians of triangle $ACE,$ so they meet at the centroid $F=(10,10).$ Segment $DE$ has length $15$ and $F$ is $10$ units above its line. Therefore $[DFE]=\frac12(15)(10)=75.$

Thus, the correct answer is C.

17.

已知命题“只有当天气不好时，星期日的野餐才不会举行”为真。由此可推出：

Given the true statement: The picnic on Sunday will not be held only if the weather is not fair. We can then conclude that:

如果野餐举行，那么星期日的天气一定晴朗。

If the picnic is held, Sunday’s weather is undoubtedly fair.

如果野餐不举行，那么星期日的天气可能不好。

If the picnic is not held, Sunday’s weather is possibly unfair.

如果星期日天气不好，野餐就不会举行。

If it is not fair Sunday, the picnic will not be held.

如果星期日天气晴朗，野餐可能举行。

If it is fair Sunday, the picnic may be held.

如果星期日天气晴朗，野餐就会举行。

If it is fair Sunday, the picnic will be held.

知识点：逻辑推理

难度评级：1650

小提示：

将“只有在 $Q$ 时才 $P$ ”写成 $P\to Q$

Translate “ $P$ only if $Q$ ” as $P\to Q$

大提示：

对“未举行蕴含天气不好”取逆否命题

Take the contrapositive of “not held implies not fair”

解答：

该命题的含义是：如果野餐没有举行，那么天气不好。它的逆否命题是：如果天气晴朗，那么野餐会举行。

因此，正确答案是 E。

The statement says: if the picnic is not held, then the weather is not fair. Its contrapositive is: if the weather is fair, then the picnic will be held.

Therefore, the correct answer is E.

18.

当用 $1-y$ 作为 $\dfrac1{1+y}$ （其中 $|y|\lt1$ ）的近似值时，所产生的误差与正确值之比为：

If $1-y$ is used as an approximation to the value of $\dfrac1{1+y},$ $|y|\lt1,$ the ratio of the error made to the correct value is:

$y$

$y^2$

$\dfrac1{1+y}$

$\dfrac y{1+y}$

$\dfrac{y^2}{1+y}$

知识点：估算代数变形

难度评级：1580

小提示：

用正确值减去近似值 $1-y$

Subtract the approximation $1-y$ from the correct value

大提示：

将该误差除以 $\frac{1}{1+y}$

Divide that error by $\frac{1}{1+y}$

解答：

误差为 $\frac1{1+y}-(1-y)=\frac{y^2}{1+y}\text{。}$ 再除以正确值 $\frac{1}{1+y}$ ，所得比值为 $y^2$ 。

因此，正确答案是 B。

The error is $\frac1{1+y}-(1-y)=\frac{y^2}{1+y}.$ Dividing by the correct value $\frac{1}{1+y}$ gives the ratio $y^2.$

Therefore, the correct answer is B.

19.

若 $x^4+4x^3+6px^2+4qx+r$ 能被 $x^3+3x^2+9x+3$ 整除，则 $(p+q)r$ 的值为：

If $x^4+4x^3+6px^2+4qx+r$ is exactly divisible by $x^3+3x^2+9x+3,$ the value of $(p+q)r$ is:

$-18$

$12$

$15$

$27$

$45$

知识点：多项式整除性代数变形

难度评级：1830

小提示：

商必须是首一一次式

The quotient must be monic and linear

大提示：

减去 $(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)$ 并比较系数

Subtract $(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)$ and compare coefficients

解答：

由首项可知商必为 $x+1$ 。展开得 $\begin{aligned} &(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)\\ &\quad=x^4+4x^3+12x^2+12x+3 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $6p=12,\ 4q=12,\ r=3$ ，所以 $p=2,\ q=3$ ，且 $(p+q)r=15$ 。

因此，正确答案是 C。

The leading terms force quotient $x+1.$ Expanding, $\begin{aligned} &(x+1)(x^3+3x^2+9x+3)\\ &\quad=x^4+4x^3+12x^2+12x+3. \end{aligned}$ Thus $6p=12,\ 4q=12,\ r=3,$ so $p=2,\ q=3$ and $(p+q)r=15.$

Therefore, the correct answer is C.

20.

对每个 $n$ ，某等差数列前 $n$ 项的和 $S_n$ 为 $2n+3n^2$ 。则第 $r$ 项为：

For every $n$ the sum $S_n$ of $n$ terms of an arithmetic progression is $2n+3n^2.$ The $r$ th term is:

$3r^2$

$3r^2+2r$

$6r-1$

$5r+5$

$6r+2$

知识点：等差数列求和代数变形

难度评级：1360

小提示：

第 $r$ 项等于 $S_r-S_{r-1}$

The $r$ th term equals $S_r-S_{r-1}$

大提示：

计算这两个二次式之差

Compute the difference of the two quadratic expressions

解答：

第 $r$ 项等于相邻两个部分和之差。代入并化简得 $S_r-S_{r-1}=6r-1\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The $r$ th term is the difference of consecutive partial sums. Substitution and simplification give $S_r-S_{r-1}=6r-1.$

Therefore, the correct answer is C.

21.

可以选取 $x\gt\dfrac23$ ，使得

$\log_{10}(x^2+3)-2\log_{10}x$

的值：

It is possible to choose $x\gt\dfrac23$ in such a way that the value of

$\log_{10}(x^2+3)-2\log_{10}x$

is:

为负数

negative

为零

zero

为一

one

小于任意给定的正数

smaller than any positive number that might be specified

大于任意给定的正数

greater than any positive number that might be specified

知识点：对数极限情形界定

难度评级：1860

小提示：

将对数合并为 $\log_{10}(1+\frac{3}{x^2})$

Combine the logarithms into $\log_{10}(1+\frac{3}{x^2})$

大提示：

令 $x$ 无限增大

Let $x$ grow without bound

解答：

该表达式等于 $\begin{gathered} \log_{10}\left(\frac{x^2+3}{x^2}\right)\\ =\log_{10}\left(1+\frac3{x^2}\right) \end{gathered}\text{。}$ 它始终为正，但随着 $x$ 增大而趋近于 $0$ 。因此可以使它小于任意给定的正数。

因此，正确答案是 D。

The expression is $\begin{gathered} \log_{10}\left(\frac{x^2+3}{x^2}\right)\\ =\log_{10}\left(1+\frac3{x^2}\right). \end{gathered}$ It is always positive, but tends to $0$ as $x$ grows. Therefore it can be made smaller than any specified positive number.

Thus, the correct answer is D.

22.

若 $a_2\ne0$ ，且 $r$ 、 $s$ 是 $a_0+a_1x+a_2x^2=0$ 的两根，则等式

$\begin{aligned} a_0+a_1x+a_2x^2 &=a_0\left(1-\frac xr\right)\\ &\quad\cdot\left(1-\frac xs\right) \end{aligned}$

成立的条件是：

If $a_2\ne0$ and $r,$ $s$ are the roots of $a_0+a_1x+a_2x^2=0,$ then the equality

$\begin{aligned} a_0+a_1x+a_2x^2 &=a_0\left(1-\frac xr\right)\\ &\quad\cdot\left(1-\frac xs\right) \end{aligned}$

holds:

当 $a_0\ne0$ 时，对所有 $x$ ，均成立

for all values of $x,$ $a_0\ne0$

对所有 $x$ 均成立

for all values of $x$

仅当 $x=0$ 时成立

only when $x=0$

仅当 $x=r$ 或 $x=s$ 时成立

only when $x=r$ or $x=s$

当 $a_0\ne0$ 时，仅在 $x=r$ 或 $x=s$ 时成立

only when $x=r$ or $x=s,$ $a_0\ne0$

知识点：二次方程韦达定理因式分解

难度评级：2000

小提示：

右边要求两根都不为零

The right side requires both roots to be nonzero

大提示：

利用 $rs=\frac{a_0}{a_2}$ 比较首项系数

Use $rs=\frac{a_0}{a_2}$ to compare the leading coefficients

解答：

若 $a_0\ne0$ ，则 $rs=\frac{a_0}{a_2}\ne0$ ，并且 $\begin{gathered} a_0\left(1-\frac xr\right) \left(1-\frac xs\right)\\ =\frac{a_0}{rs}(x-r)(x-s)\\ =a_2(x-r)(x-s) \end{gathered}$ 对每个 $x$ 都等于原多项式。若 $a_0=0$ ，则右边至少有一个分母为零。

因此，正确答案是 A。

If $a_0\ne0,$ then $rs=\frac{a_0}{a_2}\ne0$ and $\begin{gathered} a_0\left(1-\frac xr\right) \left(1-\frac xs\right)\\ =\frac{a_0}{rs}(x-r)(x-s)\\ =a_2(x-r)(x-s), \end{gathered}$ which is the original polynomial for every $x.$ If $a_0=0,$ at least one denominator on the right is zero.

Therefore, the correct answer is A.

23.

对所有满足 $|x-2|\lt0.01$ 的 $x$ ，若要写成 $|x^2-4|\lt N$ ，则可取的最小 $N$ 值为：

If we write $|x^2-4|\lt N$ for all $x$ such that $|x-2|\lt0.01,$ the smallest value we can use for $N$ is:

$0.0301$

$0.0349$

$0.0399$

$0.0401$

$0.0499$

知识点：绝对值不等式极限情形界定

难度评级：1910

小提示：

因式分解 $|x^2-4|=|x-2||x+2|$

Factor $|x^2-4|=|x-2||x+2|$

大提示：

当 $x$ 趋近 $2.01$ 时得到较大的单侧界

The larger one-sided bound occurs as $x$ approaches $2.01$

解答：

当 $1.99\lt x\lt2.01$ 时， $\begin{gathered} |x^2-4|=|x-2||x+2|\\ \lt(0.01)(4.01)=0.0401 \end{gathered}\text{。}$ 当 $x$ 任意接近 $2.01$ 时，该表达式也任意接近 $0.0401$ ，因此任何更小的上界都不成立。

因此，正确答案是 D。

For $1.99\lt x\lt2.01,$ $\begin{gathered} |x^2-4|=|x-2||x+2|\\ \lt(0.01)(4.01)=0.0401. \end{gathered}$ Values with $x$ arbitrarily close to $2.01$ make the expression arbitrarily close to $0.0401,$ so no smaller bound works.

Therefore, the correct answer is D.

24.

给定数列 $10^{\frac{1}{11}}$ ， $10^{\frac{2}{11}}$ ， $10^{\frac{3}{11}}$ ， $\ldots$ ， $10^{\frac{n}{11}}$ ，使该数列前 $n$ 项之积大于 $100{,}000$ 的最小 $n$ 值为：

Given the sequence $10^{\frac{1}{11}},$ $10^{\frac{2}{11}},$ $10^{\frac{3}{11}},$ $\ldots,$ $10^{\frac{n}{11}},$ the smallest value of $n$ such that the product of the first $n$ members of this sequence exceeds $100{,}000$ is:

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

知识点：指数求和不等式

难度评级：1530

小提示：

将乘积中各项的指数相加

Add the exponents in the product

大提示：

要求 $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$

Require $\frac{n(n+1)}{22}\gt5$

解答：

该乘积为 $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}} =10^{\frac{n(n+1)}{22}}\text{。}$ 要大于 $100{,}000=10^5$ ，需有 $n(n+1)\gt110$ 。当 $n=10$ 时恰好相等，而 $n=11$ 时超过它。

因此，正确答案是 E。

The product is $10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}} =10^{\frac{n(n+1)}{22}}.$ To exceed $100{,}000=10^5,$ we need $n(n+1)\gt110.$ At $n=10$ equality holds, while $n=11$ exceeds it.

Therefore, the correct answer is E.

25.

设 $ABCD$ 为四边形，将 $AB$ 延长到 $E$ ，使 $AB=BE$ 。连接 $AC$ 和 $CE$ ，形成角 $ACE$ 。若此角为直角，则四边形 $ABCD$ 必须具有：

Let $ABCD$ be a quadrilateral with $AB$ extended to $E$ so that $AB=BE.$ Lines $AC$ and $CE$ are drawn to form angle $ACE.$ For this angle to be a right angle it is necessary that quadrilateral $ABCD$ have:

所有角都相等

all angles equal

所有边都相等

all sides equal

两对相等的边

two pairs of equal sides

一对相等的边

one pair of equal sides

一对相等的角

one pair of equal angles

知识点：直角三角形中点外接圆、外心与外接圆半径

难度评级：1830

小提示：

因为 $AB=BE$ ，所以点 $B$ 是 $AE$ 的中点

Because $AB=BE,$ point $B$ is the midpoint of $AE$

大提示：

在直角三角形中，斜边中点到三个顶点的距离相等

In a right triangle, the midpoint of the hypotenuse is equidistant from all three vertices

解答：

若 $\angle ACE=90^\circ$ ，则 $AE$ 是直角三角形 $ACE$ 的斜边。斜边中点 $B$ 到 $A,C,E$ 的距离相等。因此 $AB=BC$ ，所以四边形 $ABCD$ 必定至少有一对相等的边。无法推出任何关于 $D$ 的条件。

因此，正确答案是 D。

If $\angle ACE=90^\circ,$ then $AE$ is the hypotenuse of right triangle $ACE.$ Its midpoint $B$ is equidistant from $A,C,E.$ Thus $AB=BC,$ so quadrilateral $ABCD$ necessarily has at least one pair of equal sides. No condition involving $D$ follows.

Therefore, the correct answer is D.

26.

对于数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 、 $e$ ，定义 $m$ 为这五个数的算术平均数； $k$ 是 $a$ 和 $b$ 的算术平均数； $l$ 是 $c$ 、 $d$ 和 $e$ 的算术平均数； $p$ 是 $k$ 和 $l$ 的算术平均数。无论如何选取 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 、 $e$ ，总有：

For the numbers $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ define $m$ to be the arithmetic mean of all five numbers; $k$ to be the arithmetic mean of $a$ and $b;$ $l$ to be the arithmetic mean of $c,$ $d,$ and $e;$ and $p$ to be the arithmetic mean of $k$ and $l.$ Then, no matter how $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ are chosen, we shall always have:

$m=p$

$m\geq p$

$m\gt p$

$m\lt p$

以上都不一定成立

none of these

知识点：平均数加权平均数反例

难度评级：1610

小提示：

用分组平均数 $k$ 和 $l$ 表示 $m$

Express $m$ in terms of the subgroup means $k$ and $l$

大提示：

比较 $m=\frac{2k+3l}{5}$ 与 $p=\frac{k+l}{2}$

Compare $m=\frac{2k+3l}{5}$ with $p=\frac{k+l}{2}$

解答：

有 $m=\frac{2k+3l}{5}$ 且 $p=\frac{k+l}{2}\text{，}$ 所以 $m-p=\frac{l-k}{10}$ 。该差值可能为正、为零或为负，取决于所选各数。因此前四种关系没有一种恒成立。

因此，正确答案是 E。

We have $m=\frac{2k+3l}{5}$ and $p=\frac{k+l}{2},$ so $m-p=\frac{l-k}{10}.$ This difference may be positive, zero, or negative depending on the chosen numbers. None of the first four relations always holds.

Therefore, the correct answer is E.

27.

用 $y-1$ 除 $y^2+my+2$ ，商为 $f(y)$ ，余数为 $R_1$ 。用 $y+1$ 除 $y^2+my+2$ ，商为 $g(y)$ ，余数为 $R_2$ 。若 $R_1=R_2$ ，则 $m$ 为：

When $y^2+my+2$ is divided by $y-1$ the quotient is $f(y)$ and the remainder is $R_1.$ When $y^2+my+2$ is divided by $y+1$ the quotient is $g(y)$ and the remainder is $R_2.$ If $R_1=R_2,$ then $m$ is:

$0$

$1$

$2$

$-1$

一个无法确定的常数

an undetermined constant

知识点：多项式换元法一次方程

难度评级：1470

小提示：

在 $y=1$ 和 $y=-1$ 处应用余式定理

Use the remainder theorem at $y=1$ and $y=-1$

大提示：

令 $m+3=3-m$

Set $m+3=3-m$

解答：

由余式定理得 $R_1=1+m+2=m+3$ ，且 $R_2=1-m+2=3-m$ 。两者相等可得 $m=0$ 。

因此，正确答案是 A。

The remainder theorem gives $R_1=1+m+2=m+3$ and $R_2=1-m+2=3-m.$ Equality implies $m=0.$

Therefore, the correct answer is A.

28.

一部向下匀速运行的自动扶梯始终可见 $n$ 级等高台阶。两个男孩 $A$ 和 $Z$ 随扶梯稳定向下走， $A$ 每分钟走过的扶梯台阶数是 $Z$ 的两倍。 $A$ 走了 $27$ 步到达底端，而 $Z$ 走了 $18$ 步到达底端。则 $n$ 为：

An escalator (moving staircase) of $n$ uniform steps visible at all times descends at constant speed. Two boys, $A$ and $Z,$ walk down the escalator steadily as it moves, $A$ negotiating twice as many escalator steps per minute as $Z.$ $A$ reaches the bottom after taking $27$ steps while $Z$ reaches the bottom after taking $18$ steps. Then $n$ is:

$63$

$54$

$45$

$36$

$30$

知识点：相对速度方程组

难度评级：1880

小提示：

设 $Z$ 的步速为 $v$ ，扶梯速度为 $e$

Let $Z$ ’s stepping rate be $v$ and the escalator rate be $e$

大提示：

令 $27+\frac{27e}{2v}$ 与 $18+\frac{18e}{v}$ 相等

Equate $27+\frac{27e}{2v}$ and $18+\frac{18e}{v}$

解答：

设 $Z$ 每分钟走 $v$ 步，则 $A$ 每分钟走 $2v$ 步，并设扶梯每分钟贡献 $e$ 级台阶。他们的行进时间分别为 $\frac{27}{2v}$ 和 $\frac{18}{v}$ 。因此 $n=27+\frac{27e}{2v} =18+\frac{18e}{v}\text{。}$ 解得 $\frac{e}{v}=2$ ，从而 $n=18+18(2)=54$ 。

因此，正确答案是 B。

Let $Z$ take $v$ steps per minute, so $A$ takes $2v,$ and let the escalator contribute $e$ steps per minute. Their travel times are $\frac{27}{2v}$ and $\frac{18}{v}.$ Thus $n=27+\frac{27e}{2v} =18+\frac{18e}{v}.$ This gives $\frac{e}{v}=2,$ and then $n=18+18(2)=54.$

Therefore, the correct answer is B.

29.

在至少选修一门课程的 $28$ 名学生中，只选数学和英语的人数等于只选数学的人数。没有学生只选英语或只选历史，有六名学生选数学和历史但不选英语。只选英语和历史的人数是三门都选人数的五倍。若三门都选的人数为非零偶数，则只选英语和数学的人数为：

Of $28$ students taking at least one subject the number taking Mathematics and English only equals the number taking Mathematics only. No student takes English only or History only, and six students take Mathematics and History, but no English. The number taking English and History only is five times the number taking all three subjects. If the number taking all three subjects is even and non-zero, the number taking English and Mathematics only is:

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

知识点：韦恩图基本计数丢番图方程

难度评级：1830

小提示：

设三门都选的人数为 $t$ ，只选数学和只选数学英语的人数均为 $x$

Let $t$ be the all-three count and $x$ both the Math-only and Math-English-only count

大提示：

总人数可写成 $2x+6+6t=28$

The total becomes $2x+6+6t=28$

解答：

设三门都选的人数为 $t$ ，只选数学和英语的人数为 $x$ ，它也等于只选数学的人数。各不相交区域的人数之和为 $x+x+6+5t+t=28\text{，}$ 所以 $x=11-3t$ 。因为 $t$ 为正偶数，所以只有 $t=2$ 能使所列人数非负，此时 $x=5$ 。

因此，正确答案是 A。

Let $t$ be the number taking all three and $x$ the number taking Mathematics and English only, which also equals the Mathematics-only count. The disjoint-region total is $x+x+6+5t+t=28,$ so $x=11-3t.$ Since $t$ is positive and even, $t=2$ is the only value giving a nonnegative listed count, and $x=5.$

Therefore, the correct answer is A.

30.

以直角三角形 $ABC$ 的边 $BC$ 为直径作圆，该圆与斜边 $AB$ 交于 $D$ 。过 $D$ 作圆的切线，与直角边 $CA$ 交于 $F$ 。这些信息不足以证明：

Let $BC$ of right triangle $ABC$ be the diameter of a circle intersecting hypotenuse $AB$ in $D.$ At $D$ a tangent is drawn cutting leg $CA$ in $F.$ This information is not sufficient to prove that:

$DF$ 平分 $CA$

$DF$ bisects $CA$

$DF$ 平分 $\angle CDA$

$DF$ bisects $\angle CDA$

$DF=FA$

$\angle A=\angle BCD$

$\angle CFD=2\angle A$

知识点：切线直角三角形角平分线定理反例

难度评级：2290

小提示：

使用坐标 $C=(0,0), A=(a,0), B=(0,b)$

Use coordinates $C=(0,0), A=(a,0), B=(0,b)$

大提示：

切线与 $CA$ 交于其中点；用角平分线定理检验角平分线的结论

The tangent meets $CA$ at its midpoint; test the angle-bisector claim with the angle-bisector theorem

解答：

取 $C=(0,0),\ A=(a,0)$ ，和 $B=(0,b)$ 。 $AB$ 与以 $BC$ 为直径的圆的另一个交点为 $D=\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}, \frac{a^2b}{a^2+b^2}\right)\text{。}$ 圆在 $D$ 点的切线与 $CA$ 交于 $F=(\frac{a}{2},0)$ 。因此 $DF$ 平分 $CA$ ；又由从 $F$ 引出的切线段相等，有 $FC=FD=FA$ ，从而得到选项 C 和 E；圆及直角三角形中的角关系又能得到选项 D。

若 $DF$ 平分 $\angle CDA$ ，则在三角形 $CDA$ 中，由角平分线定理必须有 $\frac{CF}{FA}=\frac{CD}{DA}$ 。左边为 $1$ ，而 $\frac{CD}{DA}=\frac{ab}{a^2}=\frac ba\text{，}$ 它不一定等于 $1$ 。因此选项 B 无法由已知条件证明。

因此，正确答案是 B。

Put $C=(0,0),\ A=(a,0),$ and $B=(0,b).$ The second intersection of $AB$ with the circle of diameter $BC$ is $D=\left(\frac{ab^2}{a^2+b^2}, \frac{a^2b}{a^2+b^2}\right).$ The tangent at $D$ meets $CA$ at $F=(\frac{a}{2},0).$ Hence $DF$ bisects $CA;$ also $FC=FD=FA$ by equal tangents from $F,$ which supplies choices C and E, and the circle/right-triangle angles supply choice D.

If $DF$ bisected $\angle CDA,$ the angle-bisector theorem in triangle $CDA$ would require $\frac{CF}{FA}=\frac{CD}{DA}.$ The left side is $1,$ while $\frac{CD}{DA}=\frac{ab}{a^2}=\frac ba,$ which need not be $1.$ Thus choice B is not provable.

Therefore, the correct answer is B.

31.

若 $a$ 和 $b$ 是不等于 $1$ 的正常数，则满足等式 $(\log_a x)(\log_b x)=\log_a b$ 的实数 $x$ 的个数为：

The number of real values of $x$ satisfying the equality $(\log_a x)(\log_b x)=\log_a b,$ where $a$ and $b$ are positive constants different from $1,$ is:

$0$

$1$

$2$

一个大于 $2$ 的整数

an integer greater than $2$

不是有限数

not finite

知识点：对数二次方程代数变形

难度评级：2000

小提示：

用自然对数表示每个对数

Write every logarithm with natural logs

大提示：

方程可化为 $(\ln x)^2=(\ln b)^2$

The equation reduces to $(\ln x)^2=(\ln b)^2$

解答：

换底得 $\frac{\ln x}{\ln a}\frac{\ln x}{\ln b} =\frac{\ln b}{\ln a}\text{。}$ 由于各分母均不为零， $(\ln x)^2=(\ln b)^2$ 。因此 $x=b$ 或 $x=\frac{1}{b}$ 。因为 $b\ne1$ ，这两个值互不相同，所以共有两个值。

因此，正确答案是 C。

Change of base gives $\frac{\ln x}{\ln a}\frac{\ln x}{\ln b} =\frac{\ln b}{\ln a}.$ Since the denominators are nonzero, $(\ln x)^2=(\ln b)^2.$ Thus $x=b$ or $x=\frac{1}{b}.$ These are distinct because $b\ne1,$ so there are two values.

Therefore, the correct answer is C.

32.

一件成本为 $C$ 美元的商品以 $\$100$ 售出，亏损额为售价的 $x$ %。随后以相对于新售价 $S'$ 的 $x$ % 利润转售。若 $S'$ 与 $C$ 之差为 $1\dfrac19$ 美元，则 $x$ 为：

An article costing $C$ dollars is sold for $\$100$ at a loss of $x$ percent of the selling price. It is then resold at a profit of $x$ percent of the new selling price $S'.$ If the difference between $S'$ and $C$ is $1\dfrac19$ dollars, then $x$ is:

无法确定

undetermined

$\dfrac{80}{9}$

$10$

$\dfrac{95}{9}$

$\dfrac{100}{9}$

知识点：百分数钱币二次方程

难度评级：1950

小提示：

第一次亏损给出 $C=100+x$

The first loss makes $C=100+x$

大提示：

转售条件给出 $S'=\frac{10000}{100-x}$

The resale condition gives $S'=\frac{10000}{100-x}$

解答：

以 $\$100$ 售出时，亏损为售价的 $x\%$ ，所以 $C=100+x$ 。转售时， $S'-100=(\frac{x}{100})S'$ ，所以 $S'=\frac{10000}{100-x}$ 。因此 $\begin{gathered} \frac{10000}{100-x}-(100+x)\\ =\frac{x^2}{100-x} =\frac{10}{9} \end{gathered}\text{。}$ 从而 $9x^2+10x-1000=0$ ，其正根为 $x=10$ 。

因此，正确答案是 C。

A loss of $x\%$ of the $\$100$ selling price means $C=100+x.$ On resale, $S'-100=(\frac{x}{100})S',$ so $S'=\frac{10000}{100-x}.$ Therefore $\begin{gathered} \frac{10000}{100-x}-(100+x)\\ =\frac{x^2}{100-x} =\frac{10}{9}. \end{gathered}$ Thus $9x^2+10x-1000=0,$ whose positive root is $x=10.$

Therefore, the correct answer is C.

33.

数 $15!$ ，即 $15\cdot14\cdot13\cdots1$ ，用 $12$ 进制表示时末尾有 $k$ 个零，用 $10$ 进制表示时末尾有 $h$ 个零，则 $k+h$ 等于：

If the number $15!,$ that is, $15\cdot14\cdot13\cdots1,$ ends with $k$ zeros when given to the base $12$ and ends with $h$ zeros when given to the base $10,$ then $k+h$ equals:

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

知识点：阶乘末尾零质因数分解进制

难度评级：2000

小提示：

计算 $15!$ 中因数 $2$ 、 $3$ 和 $5$ 的次数

Count the powers of $2,$ $3,$ and $5$ in $15!$

大提示：

一个 $12$ 进制末尾零需要 $2^2\cdot3$ ，而一个 $10$ 进制末尾零需要 $2\cdot5$

A base- $12$ zero uses $2^2\cdot3$ , while a base- $10$ zero uses $2\cdot5$

解答：

各素因数的次数为 $\begin{gathered} v_2(15!)=11,\\ v_3(15!)=6,\\ v_5(15!)=3 \end{gathered}\text{。}$ 因此在 $12$ 进制中 $k=\min(\lfloor\frac{11}{2}\rfloor,6)=5$ ，在 $10$ 进制中 $h=\min(11,3)=3$ 。所以 $k+h=8$ 。

因此，正确答案是 D。

The prime valuations are $\begin{gathered} v_2(15!)=11,\\ v_3(15!)=6,\\ v_5(15!)=3. \end{gathered}$ Hence $k=\min(\lfloor\frac{11}{2}\rfloor,6)=5$ in base $12,$ and $h=\min(11,3)=3$ in base $10.$ Thus $k+h=8.$

Therefore, the correct answer is D.

34.

当 $x\geq0$ 时， $\dfrac{4x^2+8x+13}{6(1+x)}$ 的最小值为：

For $x\geq0,$ the smallest value of $\dfrac{4x^2+8x+13}{6(1+x)}$ is:

$1$

$2$

$\dfrac{25}{12}$

$\dfrac{13}{6}$

$\dfrac{34}{5}$

知识点：最优化算术-几何平均不等式换元法

难度评级：1950

小提示：

令 $t=x+1\geq1$

Set $t=x+1\geq1$

大提示：

将表达式改写为 $\frac23t+\frac{3}{2t}$

Rewrite the expression as $\frac23t+\frac{3}{2t}$

解答：

令 $t=x+1\geq1$ 。因为 $4x^2+8x+13=4t^2+9$ ，所以原式为 $\frac23t+\frac{3}{2t}\text{。}$ 由算术平均数不小于几何平均数，该式至少为 $2\sqrt{(\frac{2}{3})(\frac{3}{2})}=2$ ，且在允许的 $t=\frac{3}{2}$ 处取等号。

因此，正确答案是 B。

Let $t=x+1\geq1.$ Since $4x^2+8x+13=4t^2+9,$ the expression is $\frac23t+\frac{3}{2t}.$ By AM-GM this is at least $2\sqrt{(\frac{2}{3})(\frac{3}{2})}=2,$ with equality at $t=\frac{3}{2},$ which is allowed.

Therefore, the correct answer is B.

35.

一个长方形长 $5$ 英寸、宽小于 $4$ 英寸。将其折叠，使一对对角顶点重合。若折痕长为 $\sqrt6$ ，则长方形的宽为：

The length of a rectangle is $5$ inches and its width is less than $4$ inches. The rectangle is folded so that two diagonally opposite vertices coincide. If the length of the crease is $\sqrt6,$ then the width is:

$\sqrt2$

$\sqrt3$

$2$

$\sqrt5$

$\sqrt{\frac{11}{2}}$

知识点：折纸垂直平分线坐标几何勾股定理

难度评级：2290

小提示：

折痕是长方形一条对角线的垂直平分线

The crease is the perpendicular bisector of a rectangle diagonal

大提示：

若宽为 $w\lt4$ ，则折痕与两条长边交点的水平距离为 $\frac{w^2}{5}$

If the width is $w\lt4,$ its intersections with the long sides differ horizontally by $\frac{w^2}{5}$

解答：

将长方形的四个顶点置于 $(0,0)$ 、 $(5,0)$ 、 $(5,w)$ 和 $(0,w)$ 。使 $(0,0)$ 与 $(5,w)$ 重合的折痕为 $5x+wy=\frac{25+w^2}{2}\text{。}$ 因为 $w\lt4$ ，折痕与两条水平边相交。两个交点间的竖直变化量为 $w$ ，水平变化量为 $\frac{w^2}{5}$ 。因此 $6=w^2+\frac{w^4}{25}\text{。}$ 令 $z=w^2$ ，得 $z^2+25z-150=0$ ，所以 $z=5$ ，且 $w=\sqrt5$ 。

因此，正确答案是 D。

Place the rectangle at $(0,0),$ $(5,0),$ $(5,w),$ and $(0,w).$ The crease sending $(0,0)$ to $(5,w)$ is $5x+wy=\frac{25+w^2}{2}.$ Because $w\lt4,$ it meets the two horizontal sides. Between those intersections the vertical change is $w$ and the horizontal change is $\frac{w^2}{5}.$ Thus $6=w^2+\frac{w^4}{25}.$ Setting $z=w^2$ gives $z^2+25z-150=0,$ so $z=5$ and $w=\sqrt5.$

Therefore, the correct answer is D.

36.

给定两条不同的直线 $OA$ 和 $OB$ 。从 $OA$ 上一点向 $OB$ 作垂线，再从该垂线的垂足向 $OA$ 作垂线。从第二条垂线的垂足再向 $OB$ 作垂线，如此无限继续。第一、第二条垂线段的长度分别为 $a$ 和 $b$ ；当垂线条数无限增加时，各垂线段长度之和趋于一个极限。此极限为：

Given distinct straight lines $OA$ and $OB.$ From a point in $OA$ a perpendicular is drawn to $OB;$ from the foot of this perpendicular a line is drawn perpendicular to $OA.$ From the foot of this second perpendicular a line is drawn perpendicular to $OB;$ and so on indefinitely. The lengths of the first and second perpendiculars are $a$ and $b,$ respectively. Then the sum of the lengths of the perpendiculars approaches a limit as the number of perpendiculars grows beyond all bounds. This limit is:

$\dfrac b{a-b}$

$\dfrac a{a-b}$

$\dfrac{ab}{a-b}$

$\dfrac{b^2}{a-b}$

$\dfrac{a^2}{a-b}$

知识点：等比数列相似求和

难度评级：2190

小提示：

两条固定直线依次形成的直角三角形相似

Successive right triangles formed by the two fixed lines are similar

大提示：

垂线段长度构成首项为 $a$ 、公比为 $\frac{b}{a}$ 的等比数列

The perpendicular lengths form a geometric sequence with first term $a$ and ratio $\frac{b}{a}$

解答：

每个新的直角三角形都有相同的锐角，所以垂线段长度构成等比数列。由于前两项为 $a,b$ ，公比为 $\frac{b}{a}$ 。收敛意味着 $0\lt \frac{b}{a}\lt1$ ，因而总和为 $\frac{a}{1-\frac{b}{a}}=\frac{a^2}{a-b}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Each new right triangle has the same acute angle, so the perpendicular lengths form a geometric sequence. Since the first two lengths are $a,b,$ the common ratio is $\frac{b}{a}.$ Convergence implies $0\lt \frac{b}{a}\lt1,$ and the sum is $\frac{a}{1-\frac{b}{a}}=\frac{a^2}{a-b}.$

Therefore, the correct answer is E.

37.

在三角形 $ABC$ 的边 $AB$ 上取点 $E$ ，使 $AE:EB=1:3$ ；在边 $BC$ 上取点 $D$ ，使 $CD:DB=1:2$ 。设 $AD$ 与 $CE$ 的交点为 $F$ 。则

$\frac{EF}{FC}+\frac{AF}{FD}$

等于：

Point $E$ is selected on side $AB$ of triangle $ABC$ in such a way that $AE:EB=1:3,$ and point $D$ is selected on side $BC$ so that $CD:DB=1:2.$ The point of intersection of $AD$ and $CE$ is $F.$ Then

$\frac{EF}{FC}+\frac{AF}{FD}$

is:

$\dfrac45$

$\dfrac54$

$\dfrac32$

$2$

$\dfrac52$

知识点：质点法比与比例

难度评级：2170

小提示：

赋予质量 $m_A=3$ 、 $m_B=1$ 和 $m_C=2$

Assign masses $m_A=3,$ $m_B=1,$ and $m_C=2$

大提示：

利用 $E$ 和 $D$ 处的合质量求出两条塞瓦线上的比

Use the combined masses at $E$ and $D$ to read the two cevian ratios

解答：

用质量 $m_A=3$ 、 $m_B=1$ 和 $m_C=2$ 表示边上的比。则 $m_E=m_A+m_B=4$ ，且 $m_D=m_B+m_C=3$ 。沿 $CE$ ，有 $\frac{EF}{FC}=\frac{m_C}{m_E}=\frac12\text{，}$ 而沿 $AD$ ，有 $\frac{AF}{FD}=\frac{m_D}{m_A}=1\text{。}$ 两者之和为 $\frac{3}{2}$ 。

因此，正确答案是 C。

The side ratios are represented by masses $m_A=3,$ $m_B=1,$ and $m_C=2.$ Then $m_E=m_A+m_B=4$ and $m_D=m_B+m_C=3.$ Along $CE,$ $\frac{EF}{FC}=\frac{m_C}{m_E}=\frac12,$ while along $AD,$ $\frac{AF}{FD}=\frac{m_D}{m_A}=1.$ Their sum is $\frac{3}{2}.$

Therefore, the correct answer is C.

38.

$A$ 单独完成一项工作所需时间是 $B$ 和 $C$ 合作所需时间的 $m$ 倍； $B$ 单独完成所需时间是 $C$ 和 $A$ 合作所需时间的 $n$ 倍； $C$ 单独完成所需时间是 $A$ 和 $B$ 合作所需时间的 $x$ 倍。则用 $m$ 和 $n$ 表示的 $x$ 为：

$A$ takes $m$ times as long to do a piece of work as $B$ and $C$ together; $B$ takes $n$ times as long as $C$ and $A$ together; and $C$ takes $x$ times as long as $A$ and $B$ together. Then $x,$ in terms of $m$ and $n,$ is:

$\dfrac{2mn}{m+n}$

$\dfrac1{2(m+n)}$

$\dfrac1{m+n-mn}$

$\dfrac{1-mn}{m+n+2mn}$

$\dfrac{m+n+2}{mn-1}$

知识点：速率方程组代数变形

难度评级：2170

小提示：

设 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的工作效率分别为 $a$ 、 $b$ 和 $c$

Let the work rates of $A,$ $B,$ and $C$ be $a,$ $b,$ and $c$

大提示：

将前两个条件写成 $b+c=ma$ 和 $c+a=nb$

Translate the first two conditions as $b+c=ma$ and $c+a=nb$

解答：

设工作效率为 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 。由时间关系得 $\begin{gathered} b+c=ma,\\ c+a=nb,\\ a+b=xc \end{gathered}\text{。}$ 由前两个等式， $\frac ba=\frac{m+1}{n+1}$ 且 $\frac ca=\frac{mn-1}{n+1}\text{。}$ 因此 $x=\frac{a+b}{c} =\frac{m+n+2}{mn-1}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Let the work rates be $a,$ $b,$ and $c.$ The time statements give $\begin{gathered} b+c=ma,\\ c+a=nb,\\ a+b=xc. \end{gathered}$ From the first two, $\frac ba=\frac{m+1}{n+1}$ and $\frac ca=\frac{mn-1}{n+1}.$ Hence $x=\frac{a+b}{c} =\frac{m+n+2}{mn-1}.$

Therefore, the correct answer is E.

39.

一名工头看到检验员用一个 $2$ 英寸塞规和一个 $1$ 英寸塞规检查一个直径为 $3$ 英寸的孔，便建议再插入两个量规，以确保它们恰好紧密贴合。若两个新量规相同，则各自的直径 $d$ 精确到百分之一英寸为：

A foreman noticed an inspector checking a $3$ -inch hole with a $2$ -inch plug and a $1$ -inch plug and suggested that two more gauges be inserted to be sure that the fit was snug. If the new gauges are alike, then the diameter $d$ of each, to the nearest hundredth of an inch, is:

$0.87$

$0.86$

$0.83$

$0.75$

$0.71$

知识点：相切圆坐标几何估算

难度评级：2410

小提示：

使用半径 $\frac{3}{2}$ 、 $1$ 和 $\frac{1}{2}$ ，并设一个新量规的半径为 $r$

Use radii $\frac{3}{2},$ $1,$ and $\frac{1}{2},$ and let a new gauge have radius $r$

大提示：

若其圆心为 $(u,v)$ ，将三个相切距离方程两两相减

If its center is $(u,v)$ , subtract its three tangency-distance equations

解答：

将孔的圆心置于原点。直径为 $2$ 英寸和 $1$ 英寸的塞规圆心分别为 $(0,-\frac{1}{2})$ 和 $(0,1)$ 。设一个新量规的半径为 $r$ ，圆心为 $(u,v)$ 。与两个塞规相切给出 $\begin{gathered} u^2+(v+\frac{1}{2})^2=(1+r)^2,\\ u^2+(v-1)^2=(\frac{1}{2}+r)^2 \end{gathered}\text{，}$ 而与孔内切给出 $u^2+v^2=(\frac{3}{2}-r)^2$ 。将方程两两相减得 $v=\frac12+\frac r3$ ，且 $v=\frac32-2r$ 。因此 $r=\frac{3}{7}$ ，所以 $d=2r=\frac{6}{7}\approx0.86$ 。

因此，正确答案是 B。

Place the hole’s center at the origin. The $2$ -inch and $1$ -inch plug centers are $(0,-\frac{1}{2})$ and $(0,1).$ Let a new gauge have radius $r$ and center $(u,v).$ Tangency to the two plugs gives $\begin{gathered} u^2+(v+\frac{1}{2})^2=(1+r)^2,\\ u^2+(v-1)^2=(\frac{1}{2}+r)^2, \end{gathered}$ while internal tangency to the hole gives $u^2+v^2=(\frac{3}{2}-r)^2.$ Subtracting pairs of equations yields $v=\frac12+\frac r3$ and $v=\frac32-2r.$ Thus $r=\frac{3}{7},$ so $d=2r=\frac{6}{7}\approx0.86.$

Therefore, the correct answer is B.

40.

设使 $P=x^4+6x^3+11x^2+3x+31$ 为整数平方的整数 $x$ 值共有 $n$ 个。则 $n$ 为：

Let $n$ be the number of integer values of $x$ such that $P=x^4+6x^3+11x^2+3x+31$ is the square of an integer. Then $n$ is:

$4$

$3$

$2$

$1$

$0$

知识点：完全平方数多项式极限情形界定系统列举

难度评级：2710

小提示：

改写为 $P=(x^2+3x+1)^2-3(x-10)$

Rewrite $P=(x^2+3x+1)^2-3(x-10)$

大提示：

两个不同的整数平方 $U^2$ 与 $V^2$ 之差至少为 $2\max(|U|,|V|)-1$

Distinct integer squares $U^2$ and $V^2$ differ by at least $2\max(|U|,|V|)-1$

解答：

令 $N=x^2+3x+1$ 。则 $P=N^2-3(x-10)\text{。}$ 当 $x=10,\ P=N^2=131^2$ 时，有一个值符合条件。

若 $x\gt10$ 且 $P=y^2$ ，则 $N^2-y^2=3(x-10)$ 。与 $N^2$ 不同的整数平方和它的差至少为 $2|N|-1$ ，而这已经大于 $3(x-10)$ ，矛盾。若 $x\lt10$ ，则类似的界 $\begin{gathered} 3(10-x)=y^2-N^2\\ \geq2|y|-1\gt2|N|-1 \end{gathered}$ 只有在 $-6\leq x\leq2$ 时才可能成立。直接代入这九个整数，所得值均不是平方数。因此 $x=10$ 是唯一解，且 $n=1$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $N=x^2+3x+1.$ Then $P=N^2-3(x-10).$ At $x=10,\ P=N^2=131^2,$ so one value works.

If $x\gt10$ and $P=y^2,$ then $N^2-y^2=3(x-10).$ Distinct integer squares differing from $N^2$ differ by at least $2|N|-1,$ which is already greater than $3(x-10),$ a contradiction. If $x\lt10,$ the analogous bound $\begin{gathered} 3(10-x)=y^2-N^2\\ \geq2|y|-1\gt2|N|-1 \end{gathered}$ can hold only for $-6\leq x\leq2.$ Direct substitution for these nine integers gives no square. Hence $x=10$ is the unique solution and $n=1.$

Therefore, the correct answer is D.