Question

两名男子同时从相距 $72$ 英里的 $M$ 与 $N$ 两地出发，相向而行。第一人的速度为 $4$ 英里每小时。第二人第一小时走 $2$ 英里，第二小时走 $2\frac12$ 英里，第三小时走 $3$ 英里，此后每小时路程按等差数列递增。两人将：

Two men set out at the same time to walk towards each other from $M$ and $N,$ $72$ miles apart. The first man walks at the rate of $4$ mph. The second man walks $2$ miles the first hour, $2\frac12$ miles the second hour, $3$ miles the third hour, and so on in arithmetic progression. Then the men will meet:

在 $7$ 小时后相遇

in $7$ hours

在 $8\frac14$ 小时后相遇

in $8\frac14$ hours

在离 $M$ 比离 $N$ 更近的地方相遇

nearer $M$ than $N$

在离 $N$ 比离 $M$ 更近的地方相遇

nearer $N$ than $M$

在 $M$ 与 $N$ 的中点相遇

midway between $M$ and $N$

答案：E

知识点：等差数列路程、速度与时间

难度评级：1810

小提示：

经过整整 $t$ 小时后，用等差数列求和计算第二人每小时路程之和

After $t$ whole hours, sum the second man’s hourly distances as an arithmetic progression

大提示：

令该和加上 $4t$ 等于 $72$

Set that sum plus $4t$ equal to $72$

解答：

在 $t$ 小时内，第二人每小时走过的路程组成首项为 $2$ 、末项为 $2+\frac{t-1}{2}$ 的等差数列。他走过的路程为 $\frac t2\left(4+\frac{t-1}{2}\right) =\frac{t(t+7)}4\text{。}$ 两人合计走过 $4t+\frac{t(t+7)}4=72\text{，}$ 即 $t^2+23t-288=0$ 。正根为 $t=9$ 。此时第一人走了 $4(9)=36$ 英里，恰为原距离的一半。

因此，正确答案是 E。

In $t$ hours, the second man’s hourly distances form an arithmetic progression with first term $2$ and last term $2+\frac{t-1}{2}.$ His distance is $\frac t2\left(4+\frac{t-1}{2}\right) =\frac{t(t+7)}4.$ Together the men cover $4t+\frac{t(t+7)}4=72,$ or $t^2+23t-288=0.$ The positive root is $t=9.$ The first man then walks $4(9)=36$ miles, exactly half the original distance.

Therefore, the correct answer is E.

1957 AMC 12 第 39 题

答案：E

难度评级：1810

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 39 题