Question

一个直角三角形的斜边 $c$ 与一条直角边 $a$ 是相邻整数。另一条直角边的平方为：

The hypotenuse $c$ and one arm $a$ of a right triangle are consecutive integers. The square of the second arm is:

$ca$

$\dfrac ca$

$c+a$

$c-a$

以上都不是

none of these

若另一条直角边为 $b$ ，则 $b^2=c^2-a^2$

If the second arm is $b,$ then $b^2=c^2-a^2$

将平方差因式分解，并利用 $c-a=1$

Factor the difference of squares and use $c-a=1$

由勾股定理， $b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a)\text{。}$ 因为 $c$ 与 $a$ 是相邻整数且 $c\gt a$ ，所以 $c-a=1$ 。因此 $b^2=c+a$ 。

因此，正确答案是 C。

By the Pythagorean theorem, $b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a).$ Since $c$ and $a$ are consecutive and $c\gt a,$ we have $c-a=1.$ Hence $b^2=c+a.$

Thus, the correct answer is C.