Question

设 $S$ 为下列数列前九项之和：

$\begin{gathered} x+a,\quad x^2+2a,\\ x^3+3a,\quad\ldots \end{gathered}\text{。}$

则 $S$ 等于：

Let $S$ be the sum of the first nine terms of the sequence

$\begin{gathered} x+a,\quad x^2+2a,\\ x^3+3a,\quad\ldots. \end{gathered}$

Then $S$ equals:

$\dfrac{50a+x+x^8}{x+1}$

$50a-\dfrac{x+x^{10}}{x-1}$

$\dfrac{x^9-1}{x+1}+45a$

$\dfrac{x^{10}-x}{x-1}+45a$

$\dfrac{x^{11}-x}{x-1}+45a$

答案：D

知识点：等比数列等差数列求和

难度评级：1280

小提示：

将 $x$ 的幂与 $a$ 的倍数分开

Separate the powers of $x$ from the multiples of $a$

大提示：

对 $x+x^2+\cdots+x^9$ 使用等比数列求和公式

Use the geometric-series sum for $x+x^2+\cdots+x^9$

解答：

将前九项相加，得 $\begin{aligned} S={}&(x+x^2+\cdots+x^9)\\ &{}+(1+2+\cdots+9)a \end{aligned}\text{。}$ 因此 $S=\frac{x^{10}-x}{x-1}+45a\text{。}$ 当 $x=1$ 时按连续性理解此表达式，此时两种形式都等于 $9+45a$ 。

因此，正确答案是 D。

Adding the first nine terms gives $\begin{aligned} S={}&(x+x^2+\cdots+x^9)\\ &{}+(1+2+\cdots+9)a. \end{aligned}$ Therefore $S=\frac{x^{10}-x}{x-1}+45a.$ The expression is understood by continuity at $x=1,$ where both forms equal $9+45a.$

Thus, the correct answer is D.

1959 AMC 12 第 39 题

答案：D

难度评级：1280

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 39 题