Question

在三角形 $ABC$ 中， $\overline{BD}$ 是一条中线。 $\overline{CF}$ 与 $\overline{BD}$ 相交于 $E$ ，且 $BE=ED$ 。点 $F$ 位于 $\overline{AB}$ 上。若 $BF=5$ ，则 $BA$ 等于：

In triangle $ABC,$ $\overline{BD}$ is a median. $\overline{CF}$ intersects $\overline{BD}$ at $E$ so that $BE=ED.$ Point $F$ is on $\overline{AB}.$ Then, if $BF=5,$ $BA$ equals:

$10$

$12$

$15$

$20$

以上都不是

none of these

答案：C

知识点：中线（几何）向量质点法

难度评级：1590

小提示：

使用坐标法或质量点法，并注意 $D$ 是 $AC$ 的中点， $E$ 是 $BD$ 的中点

Use coordinates or masses, noting that $D$ is the midpoint of $AC$ and $E$ is the midpoint of $BD$

大提示：

分别把 $E$ 写成 $\frac{B+D}{2}$ 以及直线 $CF$ 上的一点

Write $E$ both as $\frac{B+D}{2}$ and as a point on line $CF$

解答：

使用向量，令 $A=\mathbf0,\ B=\mathbf b$ ，且 $C=\mathbf c$ 。因为 $D=\frac{\mathbf c}{2}$ ，且 $E$ 是 $BD$ 的中点，所以 $E=\frac12\mathbf b+\frac14\mathbf c\text{。}$ $AB$ 上一点 $F$ 可写成 $F=t\mathbf b$ 。由于 $E$ 位于 $CF$ 上，比较 $\mathbf c$ 的系数可得 $E=\tfrac14C+\tfrac34F$ 。于是 $\frac34t=\frac12\text{，}$ 所以 $t=\frac{2}{3}$ 。因此 $\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3}$ ，且 $\frac{BF}{BA}=\frac{1}{3}$ 。由于 $BF=5$ ，所以 $BA=15$ 。

因此，正确答案是 C。

Use vectors with $A=\mathbf0,\ B=\mathbf b,$ and $C=\mathbf c.$ Since $D=\frac{\mathbf c}{2}$ and $E$ is the midpoint of $BD,$ $E=\frac12\mathbf b+\frac14\mathbf c.$ A point $F$ on $AB$ has the form $F=t\mathbf b.$ Since $E$ lies on $CF,$ comparison of the $\mathbf c$ -coefficient shows that $E=\tfrac14C+\tfrac34F.$ Hence $\frac34t=\frac12,$ so $t=\frac{2}{3}.$ Thus $\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3},$ and $\frac{BF}{BA}=\frac{1}{3}.$ Since $BF=5,$ $BA=15.$

Therefore, the correct answer is C.

1959 AMC 12 第 40 题

答案：C

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 40 题