Question

等边三角形 $ABC$ 内有一点 $P$ ，满足 $PA=8$ 、 $PB=6$ ，且 $PC=10$ 。将三角形 $ABC$ 的面积取至最接近的整数，所得结果为：

Located inside equilateral triangle $ABC$ is a point $P$ such that $PA=8,$ $PB=6,$ and $PC=10.$ To the nearest integer the area of triangle $ABC$ is:

$159$

$131$

$95$

$79$

$50$

答案：D

知识点：等边三角形变换勾股数余弦定理面积

难度评级：2370

小提示：

绕 $A$ 将 $P$ 旋转 $60^\circ$ ，旋转方向应使 $C$ 映到 $B$

Rotate $P$ by $60^\circ$ about $A$ so that $C$ maps to $B$

大提示：

所得的 $6$ - $8$ - $10$ 三角形可以确定 $\angle APB$

The resulting $6$ - $8$ - $10$ triangle determines $\angle APB$

解答：

绕 $A$ 将 $P$ 旋转 $60^\circ$ 到 $P'$ 。由于该旋转把 $C$ 映到 $B$ ，所以 $P'B=PC=10$ 、 $PP'=PA=8$ ，且 $PB=6$ 。因此三角形 $PP'B$ 是直角三角形。又因为三角形 $APP'$ 是等边三角形，所以 $\angle APB=60^\circ+90^\circ=150^\circ$ 。

设等边三角形边长为 $s$ ，在三角形 $APB$ 中应用余弦定理可得 $\begin{aligned} s^2 &=6^2+8^2-2(6)(8)\cos150^\circ\\ &=100+48\sqrt3 \end{aligned}\text{。}$ 它的面积为 $\frac{\sqrt3}{4}s^2=36+25\sqrt3\text{，}$ 最接近的整数是 $79$ 。

因此，正确答案是 D。

Rotate $P$ by $60^\circ$ about $A$ to $P'.$ Since this rotation sends $C$ to $B,$ we have $P'B=PC=10,$ $PP'=PA=8,$ and $PB=6.$ Thus triangle $PP'B$ is right. Also triangle $APP'$ is equilateral, so $\angle APB=60^\circ+90^\circ=150^\circ.$

If the equilateral triangle has side $s,$ the law of cosines in triangle $APB$ gives $\begin{aligned} s^2 &=6^2+8^2-2(6)(8)\cos150^\circ\\ &=100+48\sqrt3. \end{aligned}$ Its area is $\frac{\sqrt3}{4}s^2=36+25\sqrt3,$ whose nearest integer is $79.$

Therefore, the correct answer is D.

1967 AMC 12 第 40 题

答案：D

难度评级：2370

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 40 题