1967 AMC 12 详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

三位数 $2a3$ 加上数 $326$ ，得到三位数 $5b9$ 。若 $5b9$ 能被 $9$ 整除，则 $a+b$ 等于：

The three-digit number $2a3$ is added to the number $326$ to give the three-digit number $5b9.$ If $5b9$ is divisible by $9,$ then $a+b$ equals:

$2$

$4$

$6$

$8$

$9$

知识点：位值整除性

难度评级：1260

小提示：

利用 $5b9$ 的各位数字之和

Use the digit sum of $5b9$

大提示：

求出 $b$ 后，比较加法算式中的十位数字

After finding $b,$ compare the tens digits in the addition

解答：

能被 $9$ 整除要求 $5+b+9$ 是 $9$ 的倍数。因为 $b$ 是一位数字，所以 $b=4$ 。此时加法为 $2a3+326=549$ ，所以 $a=2$ 。因此 $a+b=6$ 。

因此，正确答案是 C。

Divisibility by $9$ requires $5+b+9$ to be a multiple of $9.$ Since $b$ is a digit, this gives $b=4.$ The addition is then $2a3+326=549,$ so $a=2.$ Hence $a+b=6.$

Therefore, the correct answer is C.

2.

下列表达式

$\begin{aligned} &\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \left(\frac{y^2+1}{y}\right)\\ &\quad+ \left(\frac{x^2-1}{y}\right) \left(\frac{y^2-1}{x}\right),\\ &\qquad xy\ne0 \end{aligned}\text{，}$

等于：

An equivalent of the expression

$\begin{aligned} &\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \left(\frac{y^2+1}{y}\right)\\ &\quad+ \left(\frac{x^2-1}{y}\right) \left(\frac{y^2-1}{x}\right),\\ &\qquad xy\ne0, \end{aligned}$

is:

$1$

$2xy$

$2x^2y^2+2$

$2xy+\dfrac{2}{xy}$

$\dfrac{2x}{y}+\dfrac{2y}{x}$

知识点：代数变形分数

难度评级：1450

小提示：

将每个乘积展开成四项

Expand each product into four terms

大提示：

寻找 $\frac{x}{y}$ 项与 $\frac{y}{x}$ 项的相消

Look for cancellation of the $\frac{x}{y}$ and $\frac{y}{x}$ terms

解答：

第一个乘积为 $xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac1{xy}\text{，}$ 第二个乘积为 $xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+\frac1{xy}\text{。}$ 两者相加得到 $2xy+\frac{2}{xy}$ 。

因此，正确答案是 D。

The first product is $xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac1{xy},$ while the second is $xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+\frac1{xy}.$ Adding gives $2xy+\frac{2}{xy}.$

Therefore, the correct answer is D.

3.

一个等边三角形的边长为 $s$ 。该三角形内切一个圆，该圆又内接一个正方形。正方形的面积为：

The side of an equilateral triangle is $s.$ A circle is inscribed in the triangle and a square is inscribed in the circle. The area of the square is:

$\dfrac{s^2}{24}$

$\dfrac{s^2}{6}$

$\dfrac{s^2\sqrt2}{6}$

$\dfrac{s^2\sqrt3}{6}$

$\dfrac{s^2}{3}$

知识点：等边三角形内切圆、内心与内切圆半径正方形（几何）面积

难度评级：1430

小提示：

边长为 $s$ 的等边三角形，其内切圆半径为 $\frac{s\sqrt3}{6}$

The inradius of an equilateral triangle of side $s$ is $\frac{s\sqrt3}{6}$

大提示：

正方形的对角线等于圆的直径

The square’s diagonal is the circle’s diameter

解答：

内切圆半径为 $r=\frac{s\sqrt3}{6}$ 。内接正方形的对角线长为 $2r$ ，所以其面积为该对角线平方的一半： $\begin{aligned} \frac{(2r)^2}{2} &=2r^2\\ &=2\left(\frac{s\sqrt3}{6}\right)^2\\ &=\frac{s^2}{6} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

The inradius is $r=\frac{s\sqrt3}{6}.$ The inscribed square has diagonal $2r,$ so its area is half the square of that diagonal: $\begin{aligned} \frac{(2r)^2}{2} &=2r^2\\ &=2\left(\frac{s\sqrt3}{6}\right)^2\\ &=\frac{s^2}{6}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is B.

4.

已知 $\dfrac{\log a}{p}=\dfrac{\log b}{q}=\dfrac{\log c}{r}=\log x$ ，所有对数的底相同，且 $x\ne1$ 。若 $\dfrac{b^2}{ac}=x^y$ ，则 $y$ 为：

Given $\dfrac{\log a}{p}=\dfrac{\log b}{q}=\dfrac{\log c}{r}=\log x,$ all logarithms to the same base and $x\ne1.$ If $\dfrac{b^2}{ac}=x^y,$ then $y$ is:

$\dfrac{q^2}{p+r}$

$\dfrac{p+r}{2q}$

$2q-p-r$

$2q-pr$

$q^2-pr$

知识点：对数指数换元法

难度评级：1210

小提示：

将这些对数等式改写为 $a=x^p$ 、 $b=x^q$ 、 $c=x^r$

Rewrite the logarithmic equalities as $a=x^p,$ $b=x^q,$ and $c=x^r$

大提示：

将这些幂代入 $\frac{b^2}{ac}$

Substitute those powers into $\frac{b^2}{ac}$

解答：

所给等式说明 $a=x^p$ 、 $b=x^q$ 、 $c=x^r$ 。因此 $\frac{b^2}{ac} =x^{2q-p-r}\text{。}$ 因为它等于 $x^y$ ，且 $x\ne1$ ，所以 $y=2q-p-r$ 。

因此，正确答案是 C。

The given equalities imply $a=x^p,$ $b=x^q,$ and $c=x^r.$ Therefore $\frac{b^2}{ac} =x^{2q-p-r}.$ Since this is $x^y$ and $x\ne1,$ we have $y=2q-p-r.$

Therefore, the correct answer is C.

5.

一个三角形外切于半径为 $r$ 英寸的圆。若三角形的周长为 $P$ 英寸，面积为 $K$ 平方英寸，则 $\frac{P}{K}$ 为：

A triangle is circumscribed about a circle of radius $r$ inches. If the perimeter of the triangle is $P$ inches and the area is $K$ square inches, then $\frac{P}{K}$ is:

与 $r$ 的值无关

independent of the value of $r$

$\dfrac{\sqrt2}{r}$

$\dfrac{2}{\sqrt r}$

$\dfrac2r$

$\dfrac r2$

知识点：内切圆、内心与内切圆半径三角形面积周长

难度评级：1440

小提示：

将三角形分成三个高为 $r$ 的小三角形

Split the triangle into three smaller triangles with altitude $r$

大提示：

用半周长 $\frac{P}{2}$ 表示 $K$

Express $K$ using the semiperimeter $\frac{P}{2}$

解答：

连接圆心与三个切点的半径，把三角形分成若干小三角形，它们的总面积为 $K=\frac12r(a+b+c)=\frac{Pr}{2}\text{。}$ 因此 $\frac{P}{K}=\frac{2}{r}$ 。

因此，正确答案是 D。

The three radii to the points of tangency split the triangle into smaller triangles whose total area is $K=\frac12r(a+b+c)=\frac{Pr}{2}.$ Hence $\frac{P}{K}=\frac{2}{r}.$

Therefore, the correct answer is D.

6.

若 $f(x)=4^x$ ，则 $f(x+1)-f(x)$ 等于：

If $f(x)=4^x,$ then $f(x+1)-f(x)$ equals:

$4$

$f(x)$

$2f(x)$

$3f(x)$

$4f(x)$

知识点：函数指数

难度评级：960

小提示：

将 $4^{x+1}$ 写成 $4\cdot4^x$

Write $4^{x+1}$ as $4\cdot4^x$

大提示：

从差中提取公因式 $4^x$

Factor $4^x$ from the difference

解答：

我们有 $f(x+1)=4^{x+1}=4f(x)$ 。因此 $f(x+1)-f(x)=3f(x)$ 。

因此，正确答案是 D。

We have $f(x+1)=4^{x+1}=4f(x).$ Therefore $f(x+1)-f(x)=3f(x).$

Thus, the correct answer is D.

7.

若 $\dfrac ab\lt-\dfrac cd$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 为实数且 $bd\ne0$ ，则：

If $\dfrac ab\lt-\dfrac cd,$ where $a,$ $b,$ $c,$ $d$ are real numbers and $bd\ne0,$ then:

$a$ 必须为负数

$a$ must be negative

$a$ 必须为正数

$a$ must be positive

$a$ 必须不为零

$a$ must not be zero

$a$ 可以为负数或零，但不能为正数

$a$ can be negative or zero, but not positive

$a$ 可以为正数、负数或零

$a$ can be positive, negative, or zero

知识点：不等式反例

难度评级：1430

小提示：

除 $b,d\ne0$ 外， $b,c,d$ 的符号不受限制

The signs of $b,c,d$ are unrestricted except that $b,d\ne0$

大提示：

尝试令 $b=d=1$ ，并选择 $c$ 使右边为正数

Try $b=d=1$ and choose $c$ so that the right side is positive

解答：

取 $b=d=1$ 且 $c=-2$ 。不等式变为 $a\lt2$ ，正数、零和负数中的一些 $a$ 值都能满足它。因此，三种可能的符号都不是必然的。

因此，正确答案是 E。

Take $b=d=1$ and $c=-2.$ The inequality becomes $a\lt2,$ which is satisfied by positive, zero, and negative values of $a.$ Thus none of the three possible signs is forced.

Therefore, the correct answer is E.

8.

向 $m$ 盎司浓度为 $m\%$ 的酸溶液中加入 $x$ 盎司水，得到浓度为 $(m-10)\%$ 的溶液。若 $m\gt25$ ，则 $x$ 为：

To $m$ ounces of an $m\%$ solution of acid, $x$ ounces of water are added to yield an $(m-10)\%$ solution. If $m\gt25,$ then $x$ is:

$\dfrac{10m}{m-10}$

$\dfrac{5m}{m-10}$

$\dfrac{m}{m-10}$

$\dfrac{5m}{m-20}$

无法由已知信息确定

not determined by the given information

知识点：混合问题百分数分式方程

难度评级：1500

小提示：

酸的量保持为 $\frac{m^2}{100}$ 盎司

The amount of acid remains $\frac{m^2}{100}$ ounces

大提示：

令它等于 $\frac{m-10}{100}$ 乘以最终体积 $m+x$

Set that equal to $\frac{m-10}{100}$ times the final volume $m+x$

解答：

由酸的量守恒可得 $\frac{m^2}{100} =\frac{m-10}{100}(m+x)\text{。}$ 因此 $m^2=(m-10)(m+x)$ ，所以 $10m=(m-10)x$ ，并且 $x=\frac{10m}{m-10}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Conservation of acid gives $\frac{m^2}{100} =\frac{m-10}{100}(m+x).$ Hence $m^2=(m-10)(m+x),$ so $10m=(m-10)x$ and $x=\frac{10m}{m-10}.$

Therefore, the correct answer is A.

9.

设 $K$ 是一个梯形的面积，单位为平方单位，并且该梯形的短底、高、长底依次成等差数列。则：

Let $K,$ in square units, be the area of a trapezoid such that the shorter base, the altitude, and the longer base, in that order, are in arithmetic progression. Then:

$K$ 必须是整数

$K$ must be an integer

$K$ 必须是有理分数

$K$ must be a rational fraction

$K$ 必须是无理数

$K$ must be an irrational number

$K$ 必须是整数或有理分数

$K$ must be an integer or a rational fraction

$(A)$ 、 $(B)$ 、 $(C)$ 、 $(D)$ 单独看都不成立

taken alone neither $(A)$ nor $(B)$ nor $(C)$ nor $(D)$ is true

知识点：梯形等差数列面积

难度评级：1650

小提示：

将三个长度写成 $a-d$ 、 $a$ 、 $a+d$

Write the three lengths as $a-d,$ $a,$ and $a+d$

大提示：

所得面积为 $a^2$ ，但题目没有限制 $a$ 是哪一类数

The resulting area is $a^2,$ but the problem does not restrict the kind of number $a$ is

解答：

设短底、高、长底分别为 $a-d$ 、 $a$ 、 $a+d$ 。则 $\begin{aligned} K&=\frac12a\bigl((a-d)+(a+d)\bigr)\\ &=a^2 \end{aligned}\text{。}$ 随 $a$ 的取值不同，它可以是整数、非整数有理数或无理数。选项 (A) 至 (D) 中没有一项必然成立。

因此，正确答案是 E。

Let the shorter base, altitude, and longer base be $a-d,$ $a,$ and $a+d.$ Then $\begin{aligned} K&=\frac12a\bigl((a-d)+(a+d)\bigr)\\ &=a^2. \end{aligned}$ Depending on $a,$ this can be an integer, a nonintegral rational number, or an irrational number. No one of choices (A) through (D) must hold.

Therefore, the correct answer is E.

10.

若

$\begin{aligned} &\frac{a}{10^x-1}+\frac{b}{10^x+2}\\ &\qquad=\frac{2\cdot10^x+3} {(10^x-1)(10^x+2)} \end{aligned}$

对于 $x$ 的所有正有理数值都是恒等式，则 $a-b$ 的值为：

If

$\begin{aligned} &\frac{a}{10^x-1}+\frac{b}{10^x+2}\\ &\qquad=\frac{2\cdot10^x+3} {(10^x-1)(10^x+2)} \end{aligned}$

is an identity for positive rational values of $x,$ then the value of $a-b$ is:

$\dfrac43$

$\dfrac53$

$2$

$\dfrac{11}{4}$

$3$

知识点：分式方程方程组

难度评级：1500

小提示：

两边乘以 $(10^x-1)(10^x+2)$

Multiply by $(10^x-1)(10^x+2)$

大提示：

比较 $10^x$ 的系数与常数项

Compare the coefficient of $10^x$ and the constant term

解答：

清除分母得到 $\begin{aligned} &a(10^x+2)+b(10^x-1)\\ &\qquad=2\cdot10^x+3 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $a+b=2$ ，且 $2a-b=3$ 。解得 $a=\frac{5}{3},\ b=\frac{1}{3}$ ，所以 $a-b=\frac{4}{3}$ 。

因此，正确答案是 A。

Clearing denominators gives $\begin{aligned} &a(10^x+2)+b(10^x-1)\\ &\qquad=2\cdot10^x+3. \end{aligned}$ Therefore $a+b=2$ and $2a-b=3.$ Solving gives $a=\frac{5}{3},\ b=\frac{1}{3},$ so $a-b=\frac{4}{3}.$

Therefore, the correct answer is A.

11.

若矩形 $ABCD$ 的周长为 $20$ 英寸，则对角线 $AC$ 长度的最小值（单位：英寸）为：

If the perimeter of rectangle $ABCD$ is $20$ inches, the least value of diagonal $AC,$ in inches, is:

$0$

$\sqrt{50}$

$10$

$\sqrt{200}$

以上都不是

none of these

知识点：矩形勾股定理最优化

难度评级：1440

小提示：

若相邻两边长为 $x$ 与 $10-x$ ，求对角线长度的平方

If adjacent sides are $x$ and $10-x,$ square the diagonal

大提示：

将 $x^2+(10-x)^2$ 配方

Complete the square in $x^2+(10-x)^2$

解答：

设相邻两边长为 $x$ 与 $10-x$ 。则 $\begin{aligned} AC^2&=x^2+(10-x)^2\\ &=2(x-5)^2+50 \end{aligned}\text{。}$ 当 $x=5$ 时该式最小，从而 $AC=\sqrt{50}$ 。

因此，正确答案是 B。

Let adjacent sides be $x$ and $10-x.$ Then $\begin{aligned} AC^2&=x^2+(10-x)^2\\ &=2(x-5)^2+50. \end{aligned}$ This is minimized at $x=5,$ giving $AC=\sqrt{50}.$

Therefore, the correct answer is B.

12.

若由 $x$ 轴以及直线 $y=mx+4$ 、 $x=1$ 、 $x=4$ 围成的（凸）区域面积为 $7$ ，则 $m$ 等于：

If the (convex) area bounded by the $x$ -axis and the lines $y=mx+4,$ $x=1,$ and $x=4$ is $7,$ then $m$ equals:

$-\dfrac12$

$-\dfrac23$

$-\dfrac32$

$-2$

以上都不是

none of these

知识点：坐标几何梯形一次方程

难度评级：1480

小提示：

两条平行竖边的长度为 $m+4$ 与 $4m+4$

The parallel vertical sides have lengths $m+4$ and $4m+4$

大提示：

它们之间的距离为 $3$ ，所以使用梯形面积公式

Their separation is $3$ , so use the trapezoid-area formula

解答：

围成的区域是一个梯形，其两条平行边长为 $m+4$ 与 $4m+4$ ，间距为 $3$ 。因此 $\frac32\bigl((m+4)+(4m+4)\bigr)=7\text{。}$ 所以 $15m+24=14$ ，从而 $m=-\frac{2}{3}$ 。两端的高度都为正，符合题中凸区域的要求。

因此，正确答案是 B。

The bounded region is a trapezoid with parallel sides $m+4$ and $4m+4,$ separated by $3.$ Thus $\frac32\bigl((m+4)+(4m+4)\bigr)=7.$ Hence $15m+24=14,$ so $m=-\frac{2}{3}.$ The endpoint heights are positive, as required for the stated convex region.

Therefore, the correct answer is B.

13.

已知边 $a$ （角 $A$ 的对边）、角 $B$ 以及从 $C$ 引出的高 $h_c$ ，要作三角形 $ABC$ 。若不全等解的个数为 $N$ ，则 $N$

A triangle $ABC$ is to be constructed given side $a$ (opposite angle $A$ ), angle $B,$ and $h_c,$ the altitude from $C.$ If $N$ is the number of noncongruent solutions, then $N$

为 $1$

is $1$

为 $2$

is $2$

必为零

must be zero

必为无限

must be infinite

必为零或无限

must be zero or infinite

知识点：高线三角学逻辑推理

难度评级：2030

小提示：

固定 $BC=a$ ，并从 $B$ 作一条与其构成已知角的射线

Fix $BC=a$ and draw the ray from $B$ making the given angle

大提示：

无论 $A$ 位于该射线的何处， $C$ 到该射线的距离都是固定的

The distance from $C$ to that ray is fixed, regardless of where $A$ lies on it

解答：

固定 $BC=a$ ，并从 $B$ 作一条构成已知角 $B$ 的射线。点 $C$ 到该射线的距离是固定的。若这个距离不等于 $h_c$ ，则无解；若等于 $h_c$ ，则可在射线上无限多个位置选择 $A$ ，从而得到无限多个互不全等的三角形。因此 $N$ 必为零或无限。

因此，正确答案是 E。

Fix $BC=a$ and draw the ray from $B$ that makes the prescribed angle $B.$ Its distance from $C$ is fixed. If that distance is not $h_c,$ there is no solution. If it is $h_c,$ then $A$ may be chosen at infinitely many positions on the ray, producing infinitely many noncongruent triangles. Thus $N$ must be zero or infinite.

Therefore, the correct answer is E.

14.

设 $f(t)=\dfrac{t}{1-t}$ ，且 $t\ne1$ 。若 $y=f(x)$ ，则 $x$ 可表示为：

Let $f(t)=\dfrac{t}{1-t},$ $t\ne1.$ If $y=f(x),$ then $x$ can be expressed as:

$f\left(\dfrac1y\right)$

$-f(y)$

$-f(-y)$

$f(-y)$

$f(y)$

知识点：函数分式方程代数变形

难度评级：1180

小提示：

从 $y=\frac{x}{1-x}$ 解出 $x$

Solve $y=\frac{x}{1-x}$ for $x$

大提示：

比较 $\frac{y}{1+y}$ 与 $f(-y)$

Compare $\frac{y}{1+y}$ with $f(-y)$

解答：

由 $y=\frac{x}{1-x}$ 可得 $y-yx=x$ ，所以 $x=\frac{y}{1+y}\text{。}$ 因为 $f(-y)=-\frac{y}{1+y}$ ，这就是 $-f(-y)$ 。

因此，正确答案是 C。

From $y=\frac{x}{1-x}$ we obtain $y-yx=x,$ so $x=\frac{y}{1+y}.$ Since $f(-y)=-\frac{y}{1+y},$ this is $-f(-y).$

Therefore, the correct answer is C.

15.

两个相似三角形的面积相差 $18$ 平方英尺，且较大面积与较小面积之比是某个整数的平方。较小三角形的面积（单位：平方英尺）是整数，其一条边长为 $3$ 英尺。较大三角形的对应边长（单位：英尺）为：

The difference in the areas of two similar triangles is $18$ square feet, and the ratio of the larger area to the smaller is the square of an integer. The area of the smaller triangle, in square feet, is an integer, and one of its sides is $3$ feet. The corresponding side of the larger triangle, in feet, is:

$12$

$9$

$6\sqrt2$

$6$

$3\sqrt2$

知识点：相似面积比整除性

难度评级：1850

小提示：

设整数边长比例因子为 $k$

Let the integer side-scale factor be $k$

大提示：

若较小面积为 $T$ ，则 $T(k^2-1)=18$

If the smaller area is $T,$ then $T(k^2-1)=18$

解答：

设边长比例因子为整数 $k\gt1$ ，较小面积为整数 $T$ 。则 $T(k^2-1)=18\text{。}$ 因此 $k^2-1$ 是 $18$ 的正因数。所得 $k^2$ 中唯一的完全平方数是 $4$ ，所以 $k=2$ 。对应边长为 $3k=6$ 。

因此，正确答案是 D。

Let the side-scale factor be the integer $k\gt1$ and the smaller area be the integer $T.$ Then $T(k^2-1)=18.$ Thus $k^2-1$ is a positive divisor of $18.$ The only resulting square $k^2$ is $4,$ so $k=2.$ The corresponding side is $3k=6.$

Therefore, the correct answer is D.

16.

乘积 $(12)(15)(16)$ 中每个因数都用 $b$ 进制表示，并且该乘积等于 $b$ 进制的 $3146$ 。设 $s=12+15+16$ ，其中每一项都用 $b$ 进制表示。则用 $b$ 进制表示的 $s$ 为：

Let the product $(12)(15)(16),$ each factor written in base $b,$ equal $3146$ in base $b.$ Let $s=12+15+16,$ each term expressed in base $b.$ Then $s,$ in base $b,$ is:

$43$

$44$

$45$

$46$

$47$

知识点：进制多项式位值

难度评级：2130

小提示：

将三个因数与 $3146_b$ 转换成关于 $b$ 的多项式

Translate the three factors and $3146_b$ into polynomials in $b$

大提示：

所得三次方程的有效进制底数为 $b=9$

The resulting cubic has the valid base $b=9$

解答：

乘积方程为 $\begin{aligned} &(b+2)(b+5)(b+6)\\ &\qquad=3b^3+b^2+4b+6 \end{aligned}\text{。}$ 化简为 $\begin{aligned} b^3-6b^2-24b-27&=0,\\ (b-9)(b^2+3b+3)&=0 \end{aligned}\text{。}$ 因此，有效的进制底数为 $b=9$ 。所求的和为 $3b+13=4b+4$ ，也就是 $44_b$ 。

因此，正确答案是 B。

The product equation is $\begin{aligned} &(b+2)(b+5)(b+6)\\ &\qquad=3b^3+b^2+4b+6. \end{aligned}$ It simplifies to $\begin{aligned} b^3-6b^2-24b-27&=0,\\ (b-9)(b^2+3b+3)&=0. \end{aligned}$ Thus the valid base is $b=9.$ The required sum is $3b+13=4b+4,$ which is $44_b.$

Therefore, the correct answer is B.

17.

若 $r_1$ 与 $r_2$ 是 $x^2+px+8=0$ 的两个不同实根，则必有：

If $r_1$ and $r_2$ are the distinct real roots of $x^2+px+8=0,$ then it must follow that:

$\lvert r_1+r_2\rvert\gt4\sqrt2$

$\lvert r_1\rvert\gt3$ 或 $\lvert r_2\rvert\gt3$

$\lvert r_1\rvert\gt3$ or $\lvert r_2\rvert\gt3$

$\lvert r_1\rvert\gt2$ 且 $\lvert r_2\rvert\gt2$

$\lvert r_1\rvert\gt2$ and $\lvert r_2\rvert\gt2$

$r_1\lt0$ 且 $r_2\lt0$

$r_1\lt0$ and $r_2\lt0$

$\lvert r_1+r_2\rvert\lt4\sqrt2$

知识点：二次方程韦达定理不等式

难度评级：1180

小提示：

两个不同实根要求判别式为正

Distinct real roots require the discriminant to be positive

大提示：

使用 $r_1+r_2=-p$

Use $r_1+r_2=-p$

解答：

判别式条件为 $p^2-32\gt0$ ，所以 $\lvert p\rvert\gt4\sqrt2$ 。由韦达定理， $r_1+r_2=-p$ ，因此 $\lvert r_1+r_2\rvert=\lvert p\rvert\gt4\sqrt2\text{。}$

因此，正确答案是 A。

The discriminant condition is $p^2-32\gt0,$ so $\lvert p\rvert\gt4\sqrt2.$ By Vieta’s formulas, $r_1+r_2=-p,$ and therefore $\lvert r_1+r_2\rvert=\lvert p\rvert\gt4\sqrt2.$

Therefore, the correct answer is A.

18.

若 $x^2-5x+6\lt0$ 且 $P=x^2+5x+6$ ，则

If $x^2-5x+6\lt0$ and $P=x^2+5x+6,$ then

$P$ 可以取任意实数值

$P$ can take any real value

$20\lt P\lt30$

$0\lt P\lt20$

$P\lt0$

$P\gt30$

知识点：二次方程不等式极差

难度评级：1280

小提示：

将 $x^2-5x+6$ 因式分解，以确定 $x$ 的范围

Factor $x^2-5x+6$ to locate $x$

大提示：

检查 $x^2+5x+6$ 在该区间上的变化

Check how $x^2+5x+6$ varies on that interval

解答：

不等式 $(x-2)(x-3)\lt0$ 给出 $2\lt x\lt3$ 。在该区间上， $P=x^2+5x+6$ 递增，两个端点值为 $P(2)=20$ 与 $P(3)=30$ 。由于端点不包含在内，所以 $20\lt P\lt30$ 。

因此，正确答案是 B。

The inequality $(x-2)(x-3)\lt0$ gives $2\lt x\lt3.$ On this interval $P=x^2+5x+6$ is increasing, with endpoint values $P(2)=20$ and $P(3)=30.$ The endpoints are excluded, so $20\lt P\lt30.$

Therefore, the correct answer is B.

19.

一个矩形加长 $2\dfrac12$ 英寸并变窄 $\dfrac23$ 英寸，或缩短 $2\dfrac12$ 英寸并变宽 $\dfrac43$ 英寸时，面积都保持不变。它的面积（单位：平方英寸）为：

The area of a rectangle remains unchanged when it is made $2\dfrac12$ inches longer and $\dfrac23$ inch narrower, or when it is made $2\dfrac12$ inches shorter and $\dfrac43$ inch wider. Its area, in square inches, is:

$30$

$\dfrac{80}{3}$

$24$

$\dfrac{45}{2}$

$20$

知识点：矩形方程组面积

难度评级：1920

小提示：

设原来的长和宽为 $l$ 和 $w$

Let the original length and width be $l$ and $w$

大提示：

展开两个面积相等的方程； $lw$ 项会相消

Expand both equal-area equations; the $lw$ terms cancel

解答：

两个条件为 $\begin{aligned} lw&=\left(l+\frac52\right)\left(w-\frac23\right),\\ lw&=\left(l-\frac52\right)\left(w+\frac43\right) \end{aligned}\text{。}$ 展开后，得到 $-4l+15w=10$ 与 $8l-15w=20$ 。因此 $l=\frac{15}{2}$ 、 $w=\frac{8}{3}$ ，且 $lw=20$ 。

因此，正确答案是 E。

The two conditions are $\begin{aligned} lw&=\left(l+\frac52\right)\left(w-\frac23\right),\\ lw&=\left(l-\frac52\right)\left(w+\frac43\right). \end{aligned}$ After expanding, these give $-4l+15w=10$ and $8l-15w=20.$ Hence $l=\frac{15}{2},$ $w=\frac{8}{3},$ and $lw=20.$

Therefore, the correct answer is E.

20.

在边长为 $m$ 的正方形中内切一个圆，再在该圆中内接一个正方形，再在后一个正方形中内切一个圆，如此继续。若 $S_n$ 是最前面 $n$ 个这样内切圆的面积之和，则当 $n$ 无限增大时， $S_n$ 趋近于：

A circle is inscribed in a square of side $m,$ then a square is inscribed in that circle, then a circle is inscribed in the latter square, and so on. If $S_n$ is the sum of the areas of the first $n$ circles so inscribed, then, as $n$ grows beyond all bounds, $S_n$ approaches:

$\dfrac{\pi m^2}{2}$

$\dfrac{3\pi m^2}{8}$

$\dfrac{\pi m^2}{3}$

$\dfrac{\pi m^2}{4}$

$\dfrac{\pi m^2}{8}$

知识点：圆面积等比数列求和

难度评级：1480

小提示：

第一个圆的面积为 $\frac{\pi m^2}{4}$

The first circle has area $\frac{\pi m^2}{4}$

大提示：

每个后继圆的面积都是前一个圆面积的一半

Each successive circle has half the preceding circle’s area

解答：

第一个圆的面积为 $\pi(\frac{m}{2})^2=\frac{\pi m^2}{4}$ 。每个内接正方形使下一个圆的半径平方，从而也使其面积缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ 。因此极限和为 $\begin{aligned} &\frac{\pi m^2}{4} \left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\qquad=\frac{\pi m^2}{2} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

The first circle has area $\pi(\frac{m}{2})^2=\frac{\pi m^2}{4}.$ Each inscribed square reduces the next circle’s squared radius, and hence its area, by a factor of $\frac{1}{2}.$ Thus the limiting sum is $\begin{aligned} &\frac{\pi m^2}{4} \left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\qquad=\frac{\pi m^2}{2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

21.

在直角三角形 $ABC$ 中，斜边 $AB=5$ ，直角边 $AC=3$ 。角 $A$ 的平分线与对边交于 $A_1$ 。再作一个直角三角形 $PQR$ ，其斜边 $PQ=A_1B$ ，直角边 $PR=A_1C$ 。若角 $P$ 的平分线与对边交于 $P_1$ ，则 $PP_1$ 的长度为：

In right triangle $ABC$ the hypotenuse $AB=5$ and leg $AC=3.$ The bisector of angle $A$ meets the opposite side in $A_1.$ A second right triangle $PQR$ is then constructed with hypotenuse $PQ=A_1B$ and leg $PR=A_1C.$ If the bisector of angle $P$ meets the opposite side in $P_1,$ the length of $PP_1$ is:

$\dfrac{3\sqrt6}{4}$

$\dfrac{3\sqrt5}{4}$

$\dfrac{3\sqrt3}{4}$

$\dfrac{3\sqrt2}{2}$

$\dfrac{15\sqrt2}{16}$

知识点：直角三角形角平分线定理相似

难度评级：2150

小提示：

在 $3$ - $4$ - $5$ 三角形中使用角平分线定理

Use the angle-bisector theorem in the $3$ - $4$ - $5$ triangle

大提示：

第二个三角形是第一个三角形缩小一半的副本

The second triangle is a half-scale copy of the first

解答：

因为 $BC=4$ ，由角平分线定理可得 $A_1B:A_1C=5:3$ 。因此 $A_1B=\frac{5}{2}$ ，且 $A_1C=\frac{3}{2}$ ，所以三角形 $PQR$ 是三角形 $ABC$ 缩小一半的副本。

对于原三角形中从 $A$ 引出的角平分线， $\begin{aligned} AA_1^2 &=5\cdot3\left(1-\frac{4^2}{8^2}\right)\\ &=\frac{45}{4} \end{aligned}\text{，}$ 所以 $AA_1=\frac{3\sqrt5}{2}$ 。因此 $PP_1$ 是它的一半，即 $\frac{3\sqrt5}{4}$ 。

因此，正确答案是 B。

Since $BC=4,$ the angle-bisector theorem gives $A_1B:A_1C=5:3.$ Hence $A_1B=\frac{5}{2}$ and $A_1C=\frac{3}{2},$ so triangle $PQR$ is a half-scale copy of $ABC.$

For the angle bisector from $A$ in the original triangle, $\begin{aligned} AA_1^2 &=5\cdot3\left(1-\frac{4^2}{8^2}\right)\\ &=\frac{45}{4}, \end{aligned}$ so $AA_1=\frac{3\sqrt5}{2}.$ Therefore $PP_1$ is half of this, or $\frac{3\sqrt5}{4}.$

Thus, the correct answer is B.

22.

对自然数而言， $P$ 除以 $D$ 时，商为 $Q$ ，余数为 $R$ 。当 $Q$ 除以 $D'$ 时，商为 $Q'$ ，余数为 $R'$ 。那么， $P$ 除以 $DD'$ 时的余数为：

For natural numbers, when $P$ is divided by $D,$ the quotient is $Q$ and the remainder is $R.$ When $Q$ is divided by $D',$ the quotient is $Q'$ and the remainder is $R'.$ Then, when $P$ is divided by $DD',$ the remainder is:

$R+R'D$

$R'+RD$

$RR'$

$R$

$R'$

知识点：整除性模运算换元法

难度评级：1260

小提示：

写出 $P=QD+R$ 与 $Q=Q'D'+R'$

Write $P=QD+R$ and $Q=Q'D'+R'$

大提示：

将第二个方程代入第一个，并分离出 $DD'$ 的倍数

Substitute the second equation into the first and isolate the multiple of $DD'$

解答：

代入得到 $\begin{aligned} P&=(Q'D'+R')D+R\\ &=Q'(DD')+(R'D+R) \end{aligned}\text{。}$ 余数的范围说明 $R'D+R\lt DD'$ ，所以这确实是余数。

因此，正确答案是 A。

Substitution gives $\begin{aligned} P&=(Q'D'+R')D+R\\ &=Q'(DD')+(R'D+R). \end{aligned}$ The remainder bounds imply $R'D+R\lt DD',$ so this is indeed the remainder.

Therefore, the correct answer is A.

23.

若 $x$ 为正实数并且无限增大，则 $\log_3(6x-5)-\log_3(2x+1)$ 趋近于：

If $x$ is real and positive and grows beyond all bounds, then $\log_3(6x-5)-\log_3(2x+1)$ approaches:

$0$

$1$

$3$

$4$

不趋近于有限数

no finite number

知识点：对数极限情形界定

难度评级：1400

小提示：

将两个对数合并为一个对数

Combine the logarithms into one logarithm

大提示：

求 $\frac{6x-5}{2x+1}$ 的极限

Find the limit of $\frac{6x-5}{2x+1}$

解答：

该差为 $\log_3\left(\frac{6x-5}{2x+1}\right)\text{。}$ 分数趋近于 $3$ ，所以原式趋近于 $\log_3 3=1$ 。

因此，正确答案是 B。

The difference is $\log_3\left(\frac{6x-5}{2x+1}\right).$ The fraction approaches $3,$ so the expression approaches $\log_3 3=1.$

Therefore, the correct answer is B.

24.

方程 $3x+5y=501$ 的正整数解对共有：

The number of solution-pairs in positive integers of the equation $3x+5y=501$ is:

$33$

$34$

$35$

$100$

以上都不是

none of these

知识点：丢番图方程模运算区间内整数计数

难度评级：1500

小提示：

将方程模 $5$ 化简，以求出 $x$ 的形式

Reduce the equation modulo $5$ to find the form of $x$

大提示：

统计使 $y\gt0$ 的正数值 $x=2+5k$

Count the positive values $x=2+5k$ that leave $y\gt0$

解答：

对方程模 $5$ ，可得 $3x\equiv1$ ，所以 $x\equiv2\pmod5$ 。写成 $x=2+5k$ 。则 $y=\frac{501-3x}{5}=99-3k\text{。}$ 正性要求 $k=0,1,\ldots,32$ ，因此共有 $33$ 对。

因此，正确答案是 A。

Modulo $5,$ the equation gives $3x\equiv1,$ so $x\equiv2\pmod5.$ Write $x=2+5k.$ Then $y=\frac{501-3x}{5}=99-3k.$ Positivity requires $k=0,1,\ldots,32,$ giving $33$ pairs.

Therefore, the correct answer is A.

25.

对每个奇数 $p\gt1$ ，都有：

For every odd number $p\gt1$ we have:

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ 能被 $p-2$ 整除

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ is divisible by $p-2$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ 能被 $p$ 整除

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ is divisible by $p$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}$ 能被 $p$ 整除

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}$ is divisible by $p$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ 能被 $p+1$ 整除

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1$ is divisible by $p+1$

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ 能被 $p-1$ 整除

$(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1$ is divisible by $p-1$

知识点：整除性模运算指数

难度评级：1500

小提示：

对选项 (A) 模 $p-2$ 计算

Work modulo $p-2$ for choice (A)

大提示：

因为 $p-1\equiv1\pmod{p-2}$ ，每个正整数次幂都有相同的余数

Since $p-1\equiv1\pmod{p-2},$ every positive power has the same residue

解答：

因为 $p\gt1$ 为奇数，所以 $n=\frac{p-1}{2}$ 是正整数。模 $p-2$ 时，有 $p-1\equiv1$ 。因此 $\begin{aligned} (p-1)^n-1 &\equiv1^n-1\\ &\equiv0\pmod{p-2} \end{aligned}\text{。}$ 所以选项 (A) 总是成立。

因此，正确答案是 A。

Because $p\gt1$ is odd, $n=\frac{p-1}{2}$ is a positive integer. Modulo $p-2,$ we have $p-1\equiv1.$ Therefore $\begin{aligned} (p-1)^n-1 &\equiv1^n-1\\ &\equiv0\pmod{p-2}. \end{aligned}$ Thus choice (A) always holds.

Therefore, the correct answer is A.

26.

若只使用表中信息 $10^3=1000$ 、 $10^4=10{,}000$ 、 $2^{10}=1024$ 、 $2^{11}=2048$ 、 $2^{12}=4096$ 、 $2^{13}=8192$ ，则关于 $\log_{10}2$ 能作出的最强结论是它位于下列哪两个数之间？

If one uses only the tabular information $10^3=1000,$ $10^4=10{,}000,$ $2^{10}=1024,$ $2^{11}=2048,$ $2^{12}=4096,$ $2^{13}=8192,$ then the strongest statement one can make for $\log_{10}2$ is that it lies between:

$\dfrac3{10}$ 与 $\dfrac4{11}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac4{11}$

$\dfrac3{10}$ 与 $\dfrac4{12}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac4{12}$

$\dfrac3{10}$ 与 $\dfrac4{13}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac4{13}$

$\dfrac3{10}$ 与 $\dfrac{40}{132}$

$\dfrac3{10}$ and $\dfrac{40}{132}$

$\dfrac3{11}$ 与 $\dfrac{40}{132}$

$\dfrac3{11}$ and $\dfrac{40}{132}$

知识点：对数不等式极限情形界定

难度评级：1710

小提示：

比较 $10^3$ 与 $2^{10}$ ，求下界

Compare $10^3$ with $2^{10}$ for a lower bound

大提示：

比较 $2^{13}$ 与 $10^4$ ，求上界

Compare $2^{13}$ with $10^4$ for an upper bound

解答：

由 $10^3\lt2^{10}$ 可得 $3\lt10\log_{10}2$ ，所以 $\log_{10}2\gt\frac{3}{10}$ 。由 $2^{13}\lt10^4$ 可得 $13\log_{10}2\lt4$ ，所以 $\log_{10}2\lt\frac{4}{13}$ 。这是表中信息能够推出的选项中最窄的区间。

因此，正确答案是 C。

From $10^3\lt2^{10}$ we get $3\lt10\log_{10}2,$ so $\log_{10}2\gt\frac{3}{10}.$ From $2^{13}\lt10^4$ we get $13\log_{10}2\lt4,$ so $\log_{10}2\lt\frac{4}{13}.$ This is the narrowest listed interval justified by the table.

Therefore, the correct answer is C.

27.

两支等长的蜡烛由不同材料制成，其中一支以均匀速度在 $3$ 小时内燃尽，另一支在 $4$ 小时内燃尽。应在下午几点点燃蜡烛，才能使下午 $4$ 点时一支蜡烛的剩余长度是另一支的两倍？

Two candles of the same length are made of different materials so that one burns out completely at a uniform rate in $3$ hours and the other in $4$ hours. At what time P.M. should the candles be lighted so that, at $4$ P.M., one stub is twice the length of the other?

$1{:}24$

$1{:}28$

$1{:}36$

$1{:}40$

$1{:}48$

知识点：速率一次方程日期与时间

难度评级：1500

小提示：

设蜡烛在下午 $4$ 点前燃烧的小时数为 $t$

Let $t$ be the number of hours the candles burn before $4$ P.M.

大提示：

它们剩余的比例分别为 $1-\frac{t}{3}$ 与 $1-\frac{t}{4}$

Their remaining fractions are $1-\frac{t}{3}$ and $1-\frac{t}{4}$

解答：

经过 $t$ 小时后，燃烧较快和较慢的蜡烛剩余比例分别为 $1-\frac{t}{3}$ 与 $1-\frac{t}{4}$ 。较慢蜡烛的剩余长度必须是较快蜡烛的两倍： $1-\frac t4=2\left(1-\frac t3\right)\text{。}$ 因此 $t=\frac{12}{5}=2$ 小时 $24$ 分钟。从下午 $4$ 点向前推，得到下午 $1{:}36$ 。

因此，正确答案是 C。

After $t$ hours, the faster and slower candles have fractions $1-\frac{t}{3}$ and $1-\frac{t}{4}$ remaining. The slower stub must be twice the faster: $1-\frac t4=2\left(1-\frac t3\right).$ Thus $t=\frac{12}{5}=2$ hours $24$ minutes. Counting back from $4$ P.M. gives $1{:}36$ P.M.

Therefore, the correct answer is C.

28.

已知两个前提：I 有些 Mem 不是 En；II 没有 En 是 Vee。若“有些”表示“至少一个”，则可以得出：

Given the two hypotheses: I Some Mems are not Ens and II No Ens are Vees. If “some” means “at least one,” we can conclude that:

有些 Mem 不是 Vee

Some Mems are not Vees

有些 Vee 不是 Mem

Some Vees are not Mems

没有 Mem 是 Vee

No Mem is a Vee

有些 Mem 是 Vee

Some Mems are Vees

无法从已知命题推出 $(A)$ 、 $(B)$ 、 $(C)$ 、 $(D)$ 中的任何一个

Neither $(A)$ nor $(B)$ nor $(C)$ nor $(D)$ is deducible from the given statements

知识点：逻辑推理韦恩图反例

难度评级：1880

小提示：

将三类对象转化为集合 $M,N,V$

Translate the three kinds of objects into sets $M,N,V$

大提示：

在保持两个前提成立的同时，分别检验 $M=V$ 与 $M\cap V=\varnothing$

Test both $M=V$ and $M\cap V=\varnothing$ while keeping the two hypotheses true

解答：

这些前提只说明 $M$ 中有某个元素不在 $N$ 中，并且 $N\cap V=\varnothing$ 。令 $M=V$ 的模型在满足前提的同时使 (A)、(B)、(C) 都为假；令 $M\cap V=\varnothing$ 的模型则使 (D) 为假。因此，选项 (A) 至 (D) 都不是必然结论。

因此，正确答案是 E。

The hypotheses say only that some element of $M$ lies outside $N,$ and that $N\cap V=\varnothing.$ A model with $M=V$ makes (A), (B), and (C) false while satisfying the hypotheses. A model with $M\cap V=\varnothing$ makes (D) false. Hence none of choices (A) through (D) is forced.

Therefore, the correct answer is E.

29.

$AB$ 是一个圆的直径。作切线 $AD$ 与 $BC$ ，使 $AC$ 与 $BD$ 交于圆上一点。若 $AD=a$ 、 $BC=b$ ，且 $a\ne b$ ，则圆的直径为：

$AB$ is a diameter of a circle. Tangents $AD$ and $BC$ are drawn so that $AC$ and $BD$ intersect in a point on the circle. If $AD=a$ and $BC=b,$ $a\ne b,$ the diameter of the circle is:

$\lvert a-b\rvert$

$\dfrac12(a+b)$

$\sqrt{ab}$

$\dfrac{ab}{a+b}$

$\dfrac12\cdot\dfrac{ab}{a+b}$

知识点：圆切线相似圆周角

难度评级：2150

小提示：

设圆上的交点为 $P$ ；则 $\angle APB=90^\circ$

Let the intersection point on the circle be $P$ ; then $\angle APB=90^\circ$

大提示：

利用两条平行切线比较直角三角形 $ADB$ 与 $BCA$

Use the parallel tangents to compare right triangles $ADB$ and $BCA$

解答：

设直径 $d=AB$ 。因为 $AC$ 与 $BD$ 的交点在圆上，所以由泰勒斯定理，这两条直线互相垂直。此外，切线 $AD$ 与 $BC$ 平行。由此得到的直角三角形 $ADB$ 与 $BCA$ 相似，所以 $\frac da=\frac bd\text{。}$ 因此 $d^2=ab$ ，且 $d=\sqrt{ab}$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $d=AB$ be the diameter. Since the intersection of $AC$ and $BD$ lies on the circle, those two lines are perpendicular by Thales’ theorem. Also the tangents $AD$ and $BC$ are parallel. The resulting right triangles $ADB$ and $BCA$ are similar, so $\frac da=\frac bd.$ Hence $d^2=ab$ and $d=\sqrt{ab}.$

Therefore, the correct answer is C.

30.

一名商人用 $d$ 美元买了 $n$ 台收音机，其中 $d$ 是正整数。他以成本一半的价格将两台收音机提供给社区义卖会，其余每台以获利 $\$8$ 的价格售出。若总利润为 $\$72$ ，则根据已知信息， $n$ 的最小可能值为：

A dealer bought $n$ radios for $d$ dollars, $d,$ a positive integer. He contributed two radios to a community bazaar at half their cost. The rest he sold at a profit of $\$8$ on each radio sold. If the overall profit was $\$72,$ then the least possible value of $n$ for the given information is:

$18$

$16$

$15$

$12$

$11$

知识点：钱币一次方程整除性

难度评级：1880

小提示：

每台收音机的成本为 $\frac{d}{n}$ 美元

Each radio costs $\frac{d}{n}$ dollars

大提示：

写出 $n-2$ 台获利销售与两台半价销售所得的总收入

Write the total intake from $n-2$ profitable sales and two half-cost sales

解答：

$n-2$ 台正常销售带来 $(n-2)(\frac{d}{n}+8)$ 的收入，两台义卖收音机合计带来 $\frac{d}{n}$ 的收入。由于总收入为 $d+72$ ， $\begin{aligned} &(n-2)\left(\frac dn+8\right)+\frac dn\\ &\qquad=d+72 \end{aligned}\text{。}$ 化简得 $d=8n(n-11)$ 。正性要求 $n\gt11$ ，而 $n=12$ 给出正整数 $d=96$ 。

因此，正确答案是 D。

The $n-2$ regular sales bring $(n-2)(\frac{d}{n}+8),$ while the two bazaar radios bring $\frac{d}{n}$ together. Since the total intake is $d+72,$ $\begin{aligned} &(n-2)\left(\frac dn+8\right)+\frac dn\\ &\qquad=d+72. \end{aligned}$ This reduces to $d=8n(n-11).$ Positivity requires $n\gt11,$ and $n=12$ gives the positive integer $d=96.$

Therefore, the correct answer is D.

31.

设 $D=a^2+b^2+c^2$ ，其中 $a$ 、 $b$ 为相邻整数，且 $c=ab$ 。则 $\sqrt D$ ：

Let $D=a^2+b^2+c^2,$ where $a,$ $b$ are consecutive integers and $c=ab.$ Then $\sqrt D$ is:

总是偶整数

always an even integer

有时是奇整数，有时不是

sometimes an odd integer, sometimes not

总是奇整数

always an odd integer

有时是有理数，有时不是

sometimes rational, sometimes not

总是无理数

always irrational

知识点：代数变形奇偶性完全平方数

难度评级：1500

小提示：

令 $b=a+1$ ，并展开 $D$

Set $b=a+1$ and expand $D$

大提示：

尝试将 $D$ 识别为 $a^2+a+1$ 的平方

Try to recognize $D$ as the square of $a^2+a+1$

解答：

取 $b=a+1$ 且 $c=a(a+1)$ ，则 $\begin{aligned} D&=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2\\ &=(a^2+a+1)^2 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\sqrt D=a^2+a+1$ 。因为 $a(a+1)$ 为偶数，所以这个整数总是奇数。

因此，正确答案是 C。

With $b=a+1$ and $c=a(a+1),$ $\begin{aligned} D&=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2\\ &=(a^2+a+1)^2. \end{aligned}$ Thus $\sqrt D=a^2+a+1.$ Since $a(a+1)$ is even, this integer is always odd.

Therefore, the correct answer is C.

32.

四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于 $O$ ，且 $BO=4$ 、 $OD=6$ 、 $AO=8$ 、 $OC=3$ 、 $AB=6$ 。则 $AD$ 的长度为：

In quadrilateral $ABCD$ with diagonals $AC$ and $BD$ intersecting at $O,$ $BO=4,$ $OD=6,$ $AO=8,$ $OC=3,$ and $AB=6.$ The length of $AD$ is:

$9$

$10$

$6\sqrt3$

$8\sqrt2$

$\sqrt{166}$

知识点：余弦定理导角

难度评级：1690

小提示：

利用三角形 $AOB$ 求 $\cos\angle AOB$

Use triangle $AOB$ to find $\cos\angle AOB$

大提示：

角 $AOB$ 与角 $AOD$ 互为补角

Angles $AOB$ and $AOD$ are supplementary

解答：

在三角形 $AOB$ 中， $\begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16} \end{aligned}\text{。}$ 因此 $\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}$ 。在三角形 $AOD$ 中应用余弦定理可得 $\begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166 \end{aligned}\text{。}$ 所以 $AD=\sqrt{166}$ 。

因此，正确答案是 E。

In triangle $AOB,$ $\begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16}. \end{aligned}$ Therefore $\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}.$ Applying the law of cosines in triangle $AOD$ gives $\begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166. \end{aligned}$ Hence $AD=\sqrt{166}.$

Therefore, the correct answer is E.

33.

图中分别以 $AB$ 、 $AC$ 和 $CB$ 为直径作半圆，使它们两两相切。若 $CD\perp AB$ ，则阴影面积与以 $CD$ 为半径的圆面积之比为：

In this diagram semi-circles are constructed on diameters $AB,$ $AC,$ and $CB,$ so that they are mutually tangent. If $CD\perp AB,$ then the ratio of the shaded area to the area of a circle with $CD$ as radius is:

$1:2$

$1:3$

$\sqrt3:7$

$1:4$

$\sqrt2:6$

知识点：圆面积直角三角形面积比

难度评级：1990

小提示：

用大半圆的面积减去两个小半圆的面积

Subtract the two small semicircle areas from the large one

大提示：

在直角三角形 $ADB$ 中，高定理给出 $CD^2=AC\cdot CB$

In right triangle $ADB,$ the altitude theorem gives $CD^2=AC\cdot CB$

解答：

设 $AC=u$ 、 $CB=v$ 。阴影面积等于大半圆的面积减去两个小半圆的面积： $\frac{\pi}{8}\bigl((u+v)^2-u^2-v^2\bigr) =\frac{\pi uv}{4}\text{。}$ 因为 $D$ 位于以 $AB$ 为直径的半圆上，所以三角形 $ADB$ 是直角三角形，且其高满足 $CD^2=uv$ 。因此，以 $CD$ 为半径的圆面积为 $\pi uv$ 。所求比为 $1:4$ 。

因此，正确答案是 D。

Let $AC=u$ and $CB=v.$ The shaded area is the large semicircle minus the two smaller ones: $\frac{\pi}{8}\bigl((u+v)^2-u^2-v^2\bigr) =\frac{\pi uv}{4}.$ Since $D$ lies on the semicircle with diameter $AB,$ triangle $ADB$ is right, and its altitude satisfies $CD^2=uv.$ A circle of radius $CD$ therefore has area $\pi uv.$ The required ratio is $1:4.$

Therefore, the correct answer is D.

34.

在三角形 $ABC$ 的边 $AB$ 、 $BC$ 和 $CA$ 上分别取点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，使得 $AD:DB=1:n$ 、 $BE:CE=1:n$ ，且 $CF:FA=1:n$ 。三角形 $DEF$ 与三角形 $ABC$ 的面积之比为：

Points $D,$ $E,$ $F$ are taken respectively on sides $AB,$ $BC,$ and $CA$ of triangle $ABC$ so that $AD:DB=1:n,$ $BE:CE=1:n,$ and $CF:FA=1:n.$ The ratio of the area of triangle $DEF$ to that of triangle $ABC$ is:

$\dfrac{n^2-n+1}{(n+1)^2}$

$\dfrac1{(n+1)^2}$

$\dfrac{2n^3}{(n+1)^2}$

$\dfrac{n^3}{(n+1)^2}$

$\dfrac{n(n-1)}{n+1}$

知识点：三角形面积面积分割比与比例

难度评级：1710

小提示：

从三角形 $ABC$ 中减去三个顶角处的小三角形

Subtract the three corner triangles from triangle $ABC$

大提示：

每个顶角处的小三角形与原三角形的面积比都是 $\frac{n}{(n+1)^2}$

Each corner triangle has area ratio $\frac{n}{(n+1)^2}$

解答：

在每个顶点处，小三角形所占相邻两边的比例分别为 $\frac{1}{n+1}$ 和 $\frac{n}{n+1}$ 。因此，每个顶角处的小三角形面积都是 $[ABC]$ 的 $\frac{n}{(n+1)^2}$ 倍。所以 $\begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &=1-\frac{3n}{(n+1)^2}\\ &=\frac{n^2-n+1}{(n+1)^2} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

At each vertex, the two adjacent side fractions used by the corner triangle are $\frac{1}{n+1}$ and $\frac{n}{n+1}.$ Thus each corner triangle has area $\frac{n}{(n+1)^2}$ times $[ABC].$ Therefore $\begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &=1-\frac{3n}{(n+1)^2}\\ &=\frac{n^2-n+1}{(n+1)^2}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is A.

35.

方程 $64x^3-144x^2+92x-15=0$ 的各根成等差数列。最大根与最小根之差为：

The roots of $64x^3-144x^2+92x-15=0$ are in arithmetic progression. The difference between the largest and smallest roots is:

$2$

$1$

$\dfrac12$

$\dfrac38$

$\dfrac14$

知识点：多项式等差数列韦达定理

难度评级：1750

小提示：

将三个根写成 $t-d$ 、 $t$ 、 $t+d$

Write the roots as $t-d,$ $t,$ and $t+d$

大提示：

先利用根的和求出 $t$ ，再利用根的积求出 $d^2$

Use their sum to find $t,$ then use their product to find $d^2$

解答：

设三个根为 $t-d$ 、 $t$ 、 $t+d$ 。它们的和为 $3t=\frac{144}{64}=\frac{9}{4}$ ，所以 $t=\frac{3}{4}$ 。它们的积为 $t(t^2-d^2)=\frac{15}{64}\text{。}$ 代入 $t=\frac{3}{4}$ 得 $d^2=\frac{1}{4}$ ，所以最大根与最小根之差为 $2\lvert d\rvert=1$ 。

因此，正确答案是 B。

Let the roots be $t-d,$ $t,$ and $t+d.$ Their sum is $3t=\frac{144}{64}=\frac{9}{4},$ so $t=\frac{3}{4}.$ Their product is $t(t^2-d^2)=\frac{15}{64}.$ Substituting $t=\frac{3}{4}$ gives $d^2=\frac{1}{4},$ so the difference between the extreme roots is $2\lvert d\rvert=1.$

Therefore, the correct answer is B.

36.

一个等比数列有五项，每项都是小于 $100$ 的正整数。五项之和为 $211$ 。若 $S$ 是其中所有完全平方数项之和，则 $S$ 为：

Given a geometric progression of five terms, each a positive integer less than $100.$ The sum of the five terms is $211.$ If $S$ is the sum of those terms in the progression which are squares of integers, then $S$ is:

$0$

$91$

$133$

$195$

$211$

知识点：等比数列整除性完全平方数分类讨论

难度评级：2380

小提示：

将有理公比约成最简分数 $\frac{c}{d}$

Write the rational common ratio in lowest terms as $\frac{c}{d}$

大提示：

各项均为整数意味着中间项是 $c^2d^2$ 的倍数；再利用 $211$ 是质数

Integrality forces the middle term to be a multiple of $c^2d^2$ ; use that $211$ is prime

解答：

设最简形式的公比为 $\frac{c}{d}$ ，中间项为 $a$ 。因为五项都是整数，所以 $a$ 是 $c^2d^2$ 的倍数，可写成 $a=kc^2d^2$ 。此时总和 $211$ 能被 $k$ 整除，所以 $k$ 为 $1$ 或 $211$ 。但中间项 $a$ 小于 $100$ ，故 $k=1$ 。

因此 $\begin{aligned} d^4+d^3c+d^2c^2&\\ \quad+dc^3+c^4&=211 \end{aligned}\text{。}$ 由范围限制可知 $c,d\lt4$ 。若其中一个为 $1$ ，可能的总和为 $5$ 、 $31$ 或 $121$ ，都不是 $211$ 。再结合互质条件，只剩 $c$ 与 $d$ 分别为 $2$ 和 $3$ ，次序可以互换。这个数列为 $16$ 、 $24$ 、 $36$ 、 $54$ 、 $81$ 。其中完全平方数项之和为 $16+36+81=133$ 。

因此，正确答案是 C。

Let the common ratio be $\frac{c}{d}$ in lowest terms and the middle term be $a.$ Since all five terms are integers, $a$ is divisible by $c^2d^2,$ so write $a=kc^2d^2.$ The sum $211$ is then divisible by $k.$ Thus $k$ is $1$ or $211.$ But the middle term $a$ is less than $100,$ so $k=1.$

Thus $\begin{aligned} d^4+d^3c+d^2c^2&\\ \quad+dc^3+c^4&=211. \end{aligned}$ The bound gives $c,d\lt4.$ If either is $1,$ the possible sums are $5,$ $31,$ or $121,$ not $211.$ Coprimality therefore leaves $c$ and $d$ equal to $2$ and $3$ in either order. The progression is $16,$ $24,$ $36,$ $54,$ $81.$ Its square terms sum to $16+36+81=133.$

Therefore, the correct answer is C.

37.

从三角形 $ABC$ 的三个顶点分别向一条不与三角形相交的直线 $RS$ 作垂线段 $AD=10$ 、 $BE=6$ 、 $CF=24$ 。点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 是这些垂线与 $RS$ 的交点。若三条中线交于 $G$ ，从该点向 $RS$ 作垂线段 $GH$ ，且其长度为 $x$ ，则 $x$ 为：

Segments $AD=10,$ $BE=6,$ $CF=24$ are drawn from the vertices of triangle $ABC,$ each perpendicular to a straight line $RS,$ not intersecting the triangle. Points $D,$ $E,$ $F$ are the intersection points of $RS$ with the perpendiculars. If $x$ is the length of the perpendicular segment $GH$ drawn to $RS$ from the intersection point $G$ of the medians of the triangle, then $x$ is:

$\dfrac{40}{3}$

$16$

$\dfrac{56}{3}$

$\dfrac{80}{3}$

无法确定

undetermined

知识点：重心向量平均数

难度评级：1480

小提示：

点到固定直线的有向距离是仿射函数

Signed distance from a point to a fixed line is an affine function

大提示：

重心的位置向量是三个顶点位置向量的平均值

The centroid is the average of the three vertices

解答：

由于 $RS$ 不与三角形相交，三个垂直距离的符号相同。点到固定直线的有向距离是仿射函数，而重心是三个顶点的平均。因此，重心到直线的距离等于三个距离的平均值： $x=\frac{10+6+24}{3}=\frac{40}{3}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Because $RS$ does not intersect the triangle, the three perpendicular distances have the same sign. Signed distance to a fixed line is affine, and the centroid is the average of the vertices. Therefore its distance is the average $x=\frac{10+6+24}{3}=\frac{40}{3}.$

Therefore, the correct answer is A.

38.

给定一个集合 $S$ ，其中含有两种未定义的元素“pib”和“maa”，并给出以下四条公设：

$\mathrm{P}_1$ ：每个 pib 都是若干 maa 的集合。

$\mathrm{P}_2$ ：任意两个不同的 pib 恰好共有一个 maa。

$\mathrm{P}_3$ ：每个 maa 恰好属于两个 pib。

$\mathrm{P}_4$ ：恰好有四个 pib。

考虑以下三个定理：

$\mathrm{T}_1$ ：恰好有六个 maa。

$\mathrm{T}_2$ ：每个 pib 中恰好有三个 maa。

$\mathrm{T}_3$ ：对每个 maa，恰好有另一个 maa 不与它同属任何一个 pib。

可以由这些公设推出的定理是：

Given a set $S$ consisting of two undefined elements “pib” and “maa,” and the four postulates:

$\mathrm{P}_1:$ Every pib is a collection of maas.

$\mathrm{P}_2:$ Any two distinct pibs have one and only one maa in common.

$\mathrm{P}_3:$ Every maa belongs to two and only two pibs.

$\mathrm{P}_4:$ There are exactly four pibs.

Consider the three theorems:

$\mathrm{T}_1:$ There are exactly six maas.

$\mathrm{T}_2:$ There are exactly three maas in each pib.

$\mathrm{T}_3:$ For each maa there is exactly one other maa not in the same pib with it.

The theorems which are deducible from the postulates are:

仅 $\mathrm{T}_3$

$\mathrm{T}_3$ only

仅 $\mathrm{T}_2$ 和 $\mathrm{T}_3$

$\mathrm{T}_2$ and $\mathrm{T}_3$ only

仅 $\mathrm{T}_1$ 和 $\mathrm{T}_2$

$\mathrm{T}_1$ and $\mathrm{T}_2$ only

仅 $\mathrm{T}_1$ 和 $\mathrm{T}_3$

$\mathrm{T}_1$ and $\mathrm{T}_3$ only

全部三个

all

知识点：基本计数图论逻辑推理

难度评级：2030

小提示：

将四个 pib 标记为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$

Label the four pibs $1,$ $2,$ $3,$ and $4$

大提示：

每个 maa 对应一对无序的 pib

Each maa corresponds to an unordered pair of pibs

解答：

将四个 pib 标记为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 。由 $\mathrm P_2$ 和 $\mathrm P_3$ 可知，每个 maa 恰好是一对无序 pib 所共有的 maa。因此共有 $\binom42=6$ 个 maa，这就证明了 $\mathrm T_1$ 。

固定一个 pib $i$ ，它含有三个形如 $ij$ 的 maa，其中 $j\ne i$ ，这证明了 $\mathrm T_2$ 。对于 maa $ij$ ，唯一一个与它不共属任一 pib 的 maa，就是属于其余两个 pib 所成之互补对的 maa，这证明了 $\mathrm T_3$ 。因此三个定理都能推出。

因此，正确答案是 E。

Label the four pibs $1,$ $2,$ $3,$ and $4.$ By $\mathrm P_2$ and $\mathrm P_3,$ every maa is exactly the common maa of one unordered pair of pibs. Thus there are $\binom42=6$ maas, proving $\mathrm T_1.$

A fixed pib $i$ contains the three maas $ij$ with $j\ne i,$ proving $\mathrm T_2.$ For maa $ij,$ the unique maa sharing neither pib is the one belonging to the complementary pair of pibs, proving $\mathrm T_3.$ All three follow.

Therefore, the correct answer is E.

39.

给出由连续整数组成的各集合 $\{1\}$ 、 $\{2,3\}$ 、 $\{4,5,6\}$ 、 $\{7,8,9,10\}$ 、 $\ldots$ ，每个集合都比前一个集合多一个元素，且后一个集合的首项比前一个集合的末项大一。设 $S_n$ 为第 $n$ 个集合中所有元素之和，则 $S_{21}$ 等于：

Given the sets of consecutive integers $\{1\},$ $\{2,3\},$ $\{4,5,6\},$ $\{7,8,9,10\},$ $\ldots,$ where each set contains one more element than the preceding one, and where the first element of each succeeding set is one more than the last element of the preceding set. Let $S_n$ be the sum of the elements in the $n$ th set. Then $S_{21}$ equals:

$1113$

$4641$

$5082$

$53361$

以上均不是

none of these

知识点：等差数列三角形数求和

难度评级：1500

小提示：

第 $n$ 个集合的末项是 $\frac{n(n+1)}{2}$

The last number in the $n$ th set is $\frac{n(n+1)}{2}$

大提示：

求以该数为末项的 $n$ 个连续整数之和

Sum the $n$ consecutive integers ending at that number

解答：

第 $n$ 个集合以 $\frac{n(n+1)}{2}$ 为末项，并含有 $n$ 个连续整数。其总和为 $\begin{aligned} S_n &=n\left(\frac{n(n+1)}2\right)\\ &\quad-\frac{n(n-1)}2\\ &=\frac{n(n^2+1)}2 \end{aligned}\text{。}$ 因此 $S_{21}=\frac{21(442)}{2}=4641$ 。

因此，正确答案是 B。

The $n$ th set ends at $\frac{n(n+1)}{2}$ and contains $n$ consecutive integers. Its sum is $\begin{aligned} S_n &=n\left(\frac{n(n+1)}2\right)\\ &\quad-\frac{n(n-1)}2\\ &=\frac{n(n^2+1)}2. \end{aligned}$ Thus $S_{21}=\frac{21(442)}{2}=4641.$

Therefore, the correct answer is B.

40.

等边三角形 $ABC$ 内有一点 $P$ ，满足 $PA=8$ 、 $PB=6$ ，且 $PC=10$ 。将三角形 $ABC$ 的面积取至最接近的整数，所得结果为：

Located inside equilateral triangle $ABC$ is a point $P$ such that $PA=8,$ $PB=6,$ and $PC=10.$ To the nearest integer the area of triangle $ABC$ is:

$159$

$131$

$95$

$79$

$50$

知识点：等边三角形变换勾股数余弦定理面积

难度评级：2370

小提示：

绕 $A$ 将 $P$ 旋转 $60^\circ$ ，旋转方向应使 $C$ 映到 $B$

Rotate $P$ by $60^\circ$ about $A$ so that $C$ maps to $B$

大提示：

所得的 $6$ - $8$ - $10$ 三角形可以确定 $\angle APB$

The resulting $6$ - $8$ - $10$ triangle determines $\angle APB$

解答：

绕 $A$ 将 $P$ 旋转 $60^\circ$ 到 $P'$ 。由于该旋转把 $C$ 映到 $B$ ，所以 $P'B=PC=10$ 、 $PP'=PA=8$ ，且 $PB=6$ 。因此三角形 $PP'B$ 是直角三角形。又因为三角形 $APP'$ 是等边三角形，所以 $\angle APB=60^\circ+90^\circ=150^\circ$ 。

设等边三角形边长为 $s$ ，在三角形 $APB$ 中应用余弦定理可得 $\begin{aligned} s^2 &=6^2+8^2-2(6)(8)\cos150^\circ\\ &=100+48\sqrt3 \end{aligned}\text{。}$ 它的面积为 $\frac{\sqrt3}{4}s^2=36+25\sqrt3\text{，}$ 最接近的整数是 $79$ 。

因此，正确答案是 D。

Rotate $P$ by $60^\circ$ about $A$ to $P'.$ Since this rotation sends $C$ to $B,$ we have $P'B=PC=10,$ $PP'=PA=8,$ and $PB=6.$ Thus triangle $PP'B$ is right. Also triangle $APP'$ is equilateral, so $\angle APB=60^\circ+90^\circ=150^\circ.$

If the equilateral triangle has side $s,$ the law of cosines in triangle $APB$ gives $\begin{aligned} s^2 &=6^2+8^2-2(6)(8)\cos150^\circ\\ &=100+48\sqrt3. \end{aligned}$ Its area is $\frac{\sqrt3}{4}s^2=36+25\sqrt3,$ whose nearest integer is $79.$

Therefore, the correct answer is D.