Question

图中， $AB$ 是一个圆的直径，圆心为 $O$ ，半径为 $a$ 。作弦 $AD$ 并延长，与圆在 $B$ 点的切线交于 $C$ 。在 $AC$ 上取点 $E$ ，使得 $AE=DC$ 。若 $E$ 的坐标为 $(x,y)$ ，则：

In this figure $AB$ is a diameter of a circle, centered at $O,$ with radius $a.$ A chord $AD$ is drawn and extended to meet the tangent to the circle at $B,$ in point $C.$ Point $E$ is taken on $AC$ so that $AE=DC.$ If the coordinates of $E$ are $(x,y),$ then:

$y^2=\dfrac{x^3}{2a-x}$

$y^2=\dfrac{x^3}{2a+x}$

$y^4=\dfrac{x^2}{2a-x}$

$x^2=\dfrac{y^2}{2a-x}$

$x^2=\dfrac{y^2}{2a+x}$

答案：A

知识点：圆坐标几何相似切线

难度评级：2060

小提示：

从 $E$ 与 $D$ 向直径 $AB$ 作垂线

Drop perpendiculars from $E$ and $D$ to diameter $AB$

大提示：

在两条平行切线之间利用 $AE=DC$ ，再结合高定理与相似三角形

Use $AE=DC$ between the two parallel tangents, then combine the altitude theorem with similar triangles

解答：

分别向 $AB$ 作垂线 $EM$ 和 $DN$ 。因为 $AE=DC$ ，且过 $A,B$ 的切线平行，所以它们的投影给出 $NB=x$ 。因此 $AN=2a-x$ 。在直角三角形 $ADB$ 中，高定理给出 $DN^2=x(2a-x)\text{。}$ 相似三角形 $AME$ 与 $AND$ 给出 $\frac{DN}{2a-x}=\frac{y}{x}$ ，所以 $DN=\frac{y(2a-x)}{x}$ 。代入并约去公因子可得 $y^2=\frac{x^3}{2a-x}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

Drop perpendiculars $EM$ and $DN$ to $AB.$ Since $AE=DC$ and the tangents through $A,B$ are parallel, their projections give $NB=x.$ Hence $AN=2a-x.$ In right triangle $ADB,$ the altitude theorem gives $DN^2=x(2a-x).$ Similar triangles $AME$ and $AND$ give $\frac{DN}{2a-x}=\frac{y}{x},$ so $DN=\frac{y(2a-x)}{x}.$ Substitution and cancellation yield $y^2=\frac{x^3}{2a-x}.$

Therefore, the correct answer is A.

1966 AMC 12 第 40 题

答案：A

难度评级：2060

小提示：

大提示：

解答：

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