Question

若 $5x+12y=60$ ，求 $\sqrt{x^2+y^2}$ 的最小值。

Find the minimum value of $\sqrt{x^2+y^2}$ if $5x+12y=60.$

$\dfrac{60}{13}$

$\dfrac{13}{5}$

$\dfrac{13}{12}$

$1$

$0$

答案：A

知识点：距离公式柯西-施瓦茨不等式最优化

难度评级：1300

小提示：

将 $\sqrt{x^2+y^2}$ 解释为到原点的距离

Interpret $\sqrt{x^2+y^2}$ as distance from the origin

大提示：

对 $5x+12y$ 应用柯西-施瓦茨不等式

Apply Cauchy-Schwarz to $5x+12y$

解答：

由柯西-施瓦茨不等式， $\begin{aligned} 60&=5x+12y\\ &\le\sqrt{5^2+12^2}\\ &\qquad\cdot\sqrt{x^2+y^2}\\ &=13\sqrt{x^2+y^2} \end{aligned}\text{。}$ 因此该距离至少为 $\frac{60}{13}$ 。当 $(x,y)$ 与 $(5,12)$ 成比例时取等号，所以最小值为 $\frac{60}{13}$ 。

因此，正确答案是 A。

By Cauchy-Schwarz, $\begin{aligned} 60&=5x+12y\\ &\le\sqrt{5^2+12^2}\\ &\qquad\cdot\sqrt{x^2+y^2}\\ &=13\sqrt{x^2+y^2}. \end{aligned}$ Thus the distance is at least $\frac{60}{13}.$ Equality occurs when $(x,y)$ is proportional to $(5,12),$ so the minimum is $\frac{60}{13}.$

Therefore, the correct answer is A.

1961 AMC 12 第 40 题

答案：A

难度评级：1300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 40 题