Question

给定直角三角形 $ABC$ ，两直角边为 $\overline{BC}=3$ 、 $\overline{AC}=4$ 。求从 $C$ 引向斜边的两条三等分角线中较短一条的长度：

Given right triangle $ABC$ with legs $\overline{BC}=3,$ $\overline{AC}=4.$ Find the length of the shorter angle trisector from $C$ to the hypotenuse:

$\dfrac{32\sqrt3-24}{13}$

$\dfrac{12\sqrt3-9}{13}$

$6\sqrt3-8$

$\dfrac{5\sqrt{10}}6$

$\dfrac{25}{12}$

答案：A

知识点：坐标几何三角学直角三角形

难度评级：2000

小提示：

设 $C=(0,0)$ 、 $B=(3,0)$ 、 $A=(0,4)$

Place $C=(0,0),$ $B=(3,0),$ $A=(0,4)$

大提示：

两条三等分角射线与 $CB$ 分别成 $30^\circ$ 和 $60^\circ$ ；分别求它们与 $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$ 的交点

The two trisector rays make angles $30^\circ$ and $60^\circ$ with $CB$ ; intersect each with $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$

解答：

设 $C=(0,0)$ 、 $B=(3,0)$ 、 $A=(0,4)$ 。斜边的方程为 $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$ 。与水平边成 $30^\circ$ 的三等分角射线为 $y=\frac{x}{\sqrt3}$ 。代入得 $x=\frac{12\sqrt3}{4\sqrt3+3}\text{。}$ 其长度为 $\frac{x}{\cos30^\circ}=\frac{2x}{\sqrt3}$ ，即 $\frac{24}{4\sqrt3+3} =\frac{32\sqrt3-24}{13}\text{。}$ 与水平边成 $60^\circ$ 的射线给出较长的三等分角线。

因此，正确答案是 A。

Place $C=(0,0),$ $B=(3,0),$ $A=(0,4).$ The hypotenuse has equation $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1.$ The $30^\circ$ trisector ray is $y=\frac{x}{\sqrt3}.$ Substitution gives $x=\frac{12\sqrt3}{4\sqrt3+3}.$ Its length is $\frac{x}{\cos30^\circ}=\frac{2x}{\sqrt3},$ hence $\frac{24}{4\sqrt3+3} =\frac{32\sqrt3-24}{13}.$ The $60^\circ$ ray gives the longer trisector.

Thus, the correct answer is A.

1960 AMC 12 第 40 题

答案：A

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 40 题